小结优秀教案

必修一函数重要知识点复习

（一）、函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：

1

分母不能为0；

2

对数的真数必须为正；

3

偶次根式中被开方数应为非负数；

4

零指数幂中，底数不等于0；

5

负分数指数幂中，底数应大于0；

6

若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；

⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

1.已知函数yf(x)的定义域为[a，b]，求yf(x2)的定义域

2．已知yf(x2)的定义域是[a，b]，求函数yf(x)的定义域

3．已知yf(2x1)的定义域是（-2，0），求yf(2x1)的定义域

（二）、求函数的值域

1．

求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

如函数ylog1(x2x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来222求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数y2x1313313的值域[,]

2x2x2222cosx3的值域，cosx1（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数y因为

（5）利用基本不等式求值域： 如求函数y3x的值域

2x4（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

（9）对勾函数法

像y=x+m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了

x4，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x 

[-x三种模型：（1）如yx1,0 )(0,4],求值域

（2）如

yx4求（1）[3,7]上的值域

（2）单调递增区间（x0或x4）

x4，1

，

（1）求[-1,1]上的值域

（2）求单调递增区间

x3（3）如

y2x（三）、函数的单调性

1、函数的单调性定义：

设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：设函数yf(x)，如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的减函数；

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(a,b)内，若总有f(x)0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f(x)0，

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意byax(a0,b0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为x(,bbbb],[,)，减区间为[,0),(0,]. aaaa（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减

（4）若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1x2(x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y1分别x在(,0)和(0,)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的，只能说函数y4、函数的最大（小）值

设函数yf(x)的定义域为A，如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有1的单调递减区间为(,0)和(0,)。

xf(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的最大值；如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的最小值。

（四）、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2.函数的奇偶性的判断：

（1）可以利用奇偶函数的定义判断f(x)f(x)

（2）利用定义的等价形式,

f(x)f(x)0，f(x)1（f(x)0）

f(x)（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称

3．函数奇偶性的性质：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. （2）若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数，

F(x)f(x)f(x)，2G(x)f(x)f(x)。

2（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

（5）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

（五）、函数的周期性

1．函数的周期性的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2．周期性的性质

（1）若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；

（2）若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；

（3）如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；

（4）①若f(x+a)=f(x+b)

则T=|b-a|；②函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；

③若f(xa)立，则T2a. 11(a0)恒成立，则T2a；④若f(xa)(a0)恒成f(x)f(x)

（六）、指数与指数函数

1．指数运算

aamnnm；amn1man；a01；arasars(a0,r、sQ)；rrs(ar)sars(a0,r、sQ)；(ab)ab(a0,r、sQ)

2、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

3、指数函数的图象和性质

a>1 650

定义域 R 值域y＞0 0-1246

定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

（七）、对数与对数函数

1．对数运算：

loga(MN)logaMlogaN；logaloganM1logaMn；MlogaMlogaN；logaMnnlogaM；N；alogaNN换底公式：logaNlogbNlogba；推论：logablogbclogca1

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y2log2x，ylog5x

都不是对数函数，而只能称其5

为对数型函数．

对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．

2、对数函数的性质：

a>1 32.520

-2.5

定义域x＞0 值域为R 在R上递增

函数图象都过定点（1，0）

定义域x＞0 值域为R 在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

（八）幂函数

1、幂函数的概念

一般地，形如yx

(xR)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数

2、幂函数的图像及性质

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象限的增减性

yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

yx

R 偶

在第Ⅰ象限单调递增

2yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

3yx

非奇非偶

在第Ⅰ象限单调递增

12yx1

奇

在第Ⅰ象限单调递减

幂函数yx

(xR,是常数)的图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数yx

(xR,是常数)的图像都过点(1,1)；

②当0时函数yx的图像都过原点(0,0)；

③当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；

④当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）

⑤当1时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）

2

⑥当1时，yx的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）

3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点(0,0)，(1,1)；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；10时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点(1,1)；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限

（九）二次函数

1．二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。

(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。

2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴xb，顶点坐标2ab4acb2(,)

2a4a（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在(,bb]上单调递减，在[,)上单调递2a2ab4acb2增，x时，f(x)min；

2a4a（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在(,bb]上单调递增，在[,)上单调递2a2ab4acb2减，x时，f(x)max。

2a4a3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当b4ac0时图象与x轴有两个交点2

M1(x1,0),M2(x2,0) M1M2x1x2(x1x2)24x1x2。

a4．

根分布问题:

一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，

00(1)x1<α,x2<α ,则b/(2a);

(2)x1>α,x2>α,则b/(2a)

af()0af()000f()0(3)α

(4)x1<α,x2>

(α<),则f()0

f()0f()0b/(2a)(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有f()f)0

5

最值问题：二次函数f(x)=ax+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，2即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响

6

二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：

222①0f(x)=ax+bx+c的图像与x轴无交点ax+bx+c=0无实根ax+bx+c>0(<0)的解集为或者是R; 22②0f(x)=ax+bx+c的图像与x轴相切ax+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;

22③0f(x)=ax+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax+bx+c=0有两个不等的实根ax+bx+c>0(<0)的解集为(,)()或者是(,)(,)

2