习题1.2教案1

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一．课题：函数的解析式及定义域

二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．

三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．

四．教学过程：

（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．

（二）主要方法：

1．求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；

（3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．

2．求函数定义域一般有三类问题：

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：

①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；

②若已知f(x)的定义域a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由ag(x)b解出．

（三）例题分析：

例1．已知函数f(x)1x的定义域为A，函数yffx的定义域为B，则

1x(A)ABB (B)AB (C)AB (D)ABB（

D

）

解法要点：Ax|x1，yf[f(x)]f(令11x21)f(1)，

1x1xx21且x1，故Bx|x1x|x0．

1x113例2．（1）已知f(x)x3，求f(x)；

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2x（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；

1（4）已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)．

x111313解：（1）∵f(x)x3(x)3(x)，

xxxx∴f(x)x33x（x2或x2）．

2222 (x1)．（2）令1t（t1），则x，∴f(t)lg，∴f(x)lg

xt1t1x1（3）设f(x)axb(a0)，

则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，

∴a2，b7，∴f(x)2x7．

11132f(x)f()3x ①，（4） 把①中的x换成，得2f()f(x) ②，

xxxx31①2②得3f(x)6x，∴f(x)2x．

xx（2）已知f(1)lgx，求f(x)；

注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．

例3．设函数f(x)log2x1log2(x1)log2(px)，

x1（1）求函数的定义域；

（2）问f(x)是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．

x1x10x1解：（1）由x10，解得

①

xppx0当p1时，①不等式解集为；当p1时，①不等式解集为x|1xp，

∴f(x)的定义域为(1,p)(p1)．

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p12(p1)2)]，

（2）原函数即f(x)log2[(x1)(px)]log2[(x24p11，即1p3时，函数f(x)既无最大值又无最小值；

当2p1p，即p3时，函数f(x)有最大值2log2(p1)2，但无最小值．

当12例4．《高考A计划》考点8，智能训练15：已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数．又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5．

①证明：f(1)f(4)0；②求yf(x),x[1,4]的解析式；③求yf(x)在[4,9]上的解析式．

解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)f(45)f(1)，

又∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(1)f(1)f(4)，

∴f(1)f(4)0．

②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)25 (a0)，

由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250，∴a2，

∴f(x)2(x2)5(1x4)．

③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，

2又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x，1而2f(1)2(12)，5

3∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，

从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x．

∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15．

当6x9时，1x54，∴f(x)f(x5)2[(x5)2]252(x7)25

3x15,4x6∴f(x)．

22(x7)5,6x9例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量am时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元；若用水量超过am时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每m付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．

该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：

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月份

用水量(m3)

1 9 2 15 3 22 根据上表中的数据，求a、b、c．

3水费（元）

9 19 33 解：设每月用水量为xm，支付费用为y元，则有y(1)8c,0xa8b(xa)c,xa33(2)3

由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15m，22m均大于最低限量am，198b(15a)c于是就有，解之得b2，从而2ac19 (3)

338b(22a)c再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am，不妨设9a，将x9代入（2）式，得982(9a)c，即2ac17，这与（3）矛盾．∴9a．

从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有8c9，得c1．

故a10，b2，c1．

（四）巩固练习：

1．已知f(x2)的定义域为[1,1]，则f(2x)的定义域为(,0]．

31sinxk2,kZ}．

2．函数y的定义域为{x|xk(1)16sinx2五．课后作业：《高考A计划》考点8，智能训练4，5，10，11，12，13．

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