阅读与思考 中外历史上的方程求解第一课时评课稿

②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

意图：通过归纳得出零点存在性定理．

7、零点存在性定理：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f(x)=log2x，x∈[1，2]；

2（2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．

（四）正反例证，熟悉定理．

8．定理辨析与灵活运用

例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．

（

×

）

（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．

（

×

）

（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．

（

×

）

请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：

y y y a O b x O a b x O a b x

归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．

意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．

9、练习：

（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

x f(x) 1 23 2 9 3 －7 4 11 5 6 7 （

C

）

（

）

－5 －12 －26 那么函数在区间[1，6]上的零点至少有

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

（2）方程–

x

3

– 3x + 5=0的零点所在的大致区间为

A．(– 2，0) B．(0，1) C．(0，1) D．(1，2) 意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．

第

3 页

共

6 页

第

4 页

共

6 页

（五）综合应用，拓展思维．

10、例题讲解

例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．

解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6

7.8

9.9

12.1

14.2

由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．

问题6：如何说明零点的唯一性？

又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．

解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：

x

1 2 3 4 f(x) －

－

＋

＋

结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．

解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．

y

6 g(x)

h(x)

O

1 2 3 4

由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．

（七）布置作业，独立探究．

第

5 页

共

6 页

x

1．函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？

2．利用函数图象判断下列方程有几个根：

－（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex1＋4＝4x．

3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：

（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．

思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．

设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．

5.4

板书设计

方程的根与函数的零点

1、零点概念：

练习：

…………………………

…………………………

2、方程的根与函数零点的关系

…………………………

…………………………

3、函数零点存在性定理的条件

例2：

…………………………

…………………………

例1反例：

…………………………

y y y O x O x O x

第

6 页

共

6 页