小结课堂实录

二次函数与幂函数

教学目标

111、了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变

x2化情况；

2、理解二次函数的图像与性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题。

重点难点

重点：掌握幂函数与二次函数的图像与性质

难点：理解二次函数、方程、不等式之间关系；二次函数的恒成立问题

【知识梳理】

1．幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

函数

特征

性质

定义域

值域

奇偶性

R

R

奇函数

R

[0，＋∞)

偶函数

x∈[0，＋∞)时，增；

x∈(－∞，0]时，减

R

R

奇函数

[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇非偶函数

增

{x|x∈R且x≠0} {y|y∈R且y≠0} 奇函数

x∈(0，＋∞) 时，减；

x∈(－∞，0)时，减

y＝x y＝x2

y＝x3

y＝x

12y＝x1

－单调性

增

增

1）幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

2）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 3）a为奇（偶）数

，幂函数为奇（偶）函数。

4）在(1，＋∞) ,a越小，函数图像越接近X轴。

1

2.二次函数

(1)二次函数的定义

xn23n形如

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数

(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(3)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象

定义域

值域

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞) 4ac－b，＋∞

4a2－∞，4ac－b

4a2单调性

bb－∞，－上单调递减；

在x∈－∞，－上单调递增；在x∈

2a2ab－，＋∞上单调递增

在x∈2ab－，＋∞上单调递减

在x∈2a对称性

【思考辨析】

b函数的图象关于x＝－对称

2a判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac－b22(1)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(

×

) 4a(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(

×

)

(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(

×

)

(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(

×

) 2(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±.(

×

) 22(6)已知f(x)＝x－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(

×

)

【例题精讲】

考点一

幂函数的图象和性质

命题角度一：幂函数的概念

例1：已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，

2

＋∞)上是减函数，则n的值为(

) A.－3 B.1 答案

B 命题角度二：幂函数的图像

1 例2：如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲2线C1，C2，C3，C4的n值依次为

(

)

答案

B

C.2

D.1或2

1111A．－2，－，，2

B．2，，－，－2 22221111C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

2222命题角度三：比较大小

例3：（2016全国丙卷）已知a= 2 ,b= 3 ,c= 25 ,则（ ）

A.b

答案

A

思维升华

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.

考点二

二次函数

命题角度一：求二次函数解析式

例4： (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

思维升华

432313

3

求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

命题角度二

二次函数中恒成立问题

例5

已知函数f(x)=ax2-2x+2,若对一切x∈[为 (

) A.[1，2] , f(x)>0都成立,则实数a的取值范围211,+∞) 

B. (,+∞) C.[-4,+∞) D.(-4,+∞) 22a >0恒成立,则实数a的取值范围是 (

) 2变：已知x∈[-1,1]时, f(x)=x2-ax+ A.(0,2) B.(2,+∞)

C.(0,+∞)

D.(0,4)

思维升华

1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

【课堂小结】

1．二次函数的三种形式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．

(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．

2．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．

4

3．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征

α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

失误与防范

1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【巩固作业】

1.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·x数，则n的值为(

) A．－3

B．1

C．2

D．1或2 2.若(2m＋1)

>(m＋m－1) 12n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函212，则实数m的取值范围是(

) －5－15－15－1

A.－∞，

B.，＋∞ C．(－1,2)

D.222，23.已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x＋∞)上是增函数，则m＝________. 4.若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．

2答案

(1)B

(2)D

(3)－1

(4)[－1，) 31212－5m－3在(0，

5

5.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．

解

(1)由题意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，

b且－＝－1，∴a＝1，b＝2. 2a∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，

单调增区间为[－1，＋∞)．

(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，

转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．

设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．

∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．

6.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

解

(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，

所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；

当x＝－5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，

因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，

所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

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