小结课堂实录及点评

函数奇偶性复习教案

知识目标

（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能利用定义判断简单函数的奇偶性．

教学过程：

一：问题情境

引入课题

1观察下列图片：它们美吗？美在何处呢？

2 让学生画出函数

的函数图象。

f(x)x2和

f (x)

x

（画图让学生巩固对二次函数和分段函数的画法）

3问题：

(1) 分别观察这两个函数图象，它们各自有怎样的图象特征？怎样的代数特征？

合作探究

在（1）图象中，f(1)____ f(-1), f(2)___f(-2),

f(x)_______f(-x) 当自变量取一对相反数时，它们的函数值__________.向这样的函数为偶函数。

(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？

答案：（1）图像都关于y轴对称; （2）自变量x取一对相反数是，相应的两个函数值相同

.

实际上，对于R内任意的一个x ,都有 , 这时我们称函数 f(x)x2f(x)f(x)x2为偶函数.

一、函数奇偶性的定义

一.奇偶函数的概念：

设函数y=f（x），x属于D，对任意的x属于D都有f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数；若对任意的x属于D，都有f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数

（1）

奇偶函数的必要条件：定义域关于原点对称；

（2）

函数为奇函数且在x=0处有定义，则f（0）=0 （3）偶函数的图像对称关系:奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称

二．判断函数奇偶性的一般方法

（1）先判断定义域是否关于原点对称

1

（2）若定义域关于原点对称

1.定义判断f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数。

2.等价形式判断：f（-x）-f（x）=0，则f（x）为偶函数；f（-x）+f（x）=0 则f（x）f(x)1是奇函数。

或者f(x)，等于1 时f（x）为偶函数，等于-1时 f（x）为奇函数

三．函数奇偶性的应用

（1）.应用方面：1.利用奇偶性求有关函数值

；

2.利用奇偶性求有关函数的奇偶性；

3.利用奇偶性研究函数的其他性质

（2）常用结论：1.函数奇偶性满足下列性质：奇+/-奇=奇；偶+/-偶=偶；奇乘以奇=偶；偶乘以偶=偶；奇乘以偶=奇

2.奇函数在对称区间单调性相同，偶函数则相反。

（3）任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）均可以写成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）和的形式，则g（x）= [f（x）-f（-x）]/2，

h（x）=[f（x）+f（-x）]/2 知识点：一、利用奇偶函数的对称性求值

奇函数：关于原点对称。（做题时可考虑特殊值法），f（0）=0）。F（-x）= -f（x）

偶函数：关于y轴对称。F（-x）=f（x）

例1.已知定义在[-5，5]上的奇函数f(x)的部分图像如右图所示：

则满足f(x)0的x的集合为_________；

2例2..已知f(x)axbx3ab是偶函数，定义域为[a1,2a].则a

，b

二、利用函数的奇偶性求值

例3.

设f（x）是定义在R上的偶函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____

_。

例4.

f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=___；若有f(2)3，则f(2)___；

若f(5)7；则f(5)___；

例5．已知函数f(x)a1(xR),若f(x)为奇函数，则a___；

2x1二、利用函数的奇偶性和单调性比较值的大小

例6．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ）

A.f(2)f(0)f(1) B.f(2)f(1)f(0)

C.f(1)f(0)f(2) D.f(1)f(2)f(0)

例7. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间7,3上

2

是（

）

A．增函数且最小值是5

B．增函数且最大值是5

C．减函数且最大值是5

D．减函数且最小值是5

三、利用奇偶性求函数解析式

例8：若f(x)是定义在（-∞，0）（0，+∞）上的奇函数，当x<0时，f(x)x(1x)，求当x0时，函数f(x)的解析式。

例9.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时，f(x)2x23x1，试求函数f(x)的解析式。

拓展：

已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x在区间[0,1]内时，f(x)2x1，求的值。

f(log1224)

四、函数的单调性、奇偶性的简单应用

例3、⑴（06年北京模拟）若fxx221ax2在,4上是递减函数，则实数a的值的集合是

。

⑵（06年山西模拟题）已知奇函数fx在定义域[2,2]内递减，求满足f1mf1m20的实数m的取值范围。

（3）

已知定义在[3,3]上的函数yf(x)满足条件：对于任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)．当x0时，f(x)0．

（1）求证：函数f(x)是奇函数；

（2）求证：函数f(x)在[3,3]上是减函数；

（3）解不等式f(2x1)f(3x2)0．

3

【提高练习】

1.已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,)上为减函数，且

有f(2)0，则满足f(x)0的x的集合为_________；

2.已知函数yf(x)为R上的奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)____；

3.已知偶函数f(x)在区间[2,4]上为减函数且有最大值为5，则f(x)在区间[4,2]上为____函数且有最___值为____；

若是奇函数f(x)在区间[2,4]上为增函数且有最小值为5，则f(x)在区间[4,2]上为____函数且有最___值为____。

4.若函数f(x)loga(xx22a2)是奇函数，则a

22f(x)(m1)x(m2)x(m7m12)为偶函数，则m的值是（

）5.已知函数

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.若偶函数f(x)在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）

33f()f(1)f(2)f(1)f()f(2)22A．

B．

33f(2)f(1)f()f(2)f()f(1)2

D．2C．

7.函数yf(x)是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若f(a)f(2),则实数a的取值范围是

（ ）

A.a2 B.a2 C.2a2 D.a2或a2

8.已知f(x)lg(1x)lg(1x)

（1）判断函数的奇偶性；（2）判断f(x)的单调性并证明。

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