习题3.1教学设计(第一课时)

函数零点的求法及应用

吉林十二中 张春祥

一、【教学目标】

（一）知识与技能：

（1）

理解并掌握“一个定理”、“三个等价”

（2）

学会函数零点的判定方法

（3）

已知函数零点的个数求参数的取值范围

（4）

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值

（二）过程与方法：在学习中体会数形结合的数学思想，函数与方程之间的相互转化。

（三）情感态度价值观：让学生体验转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值

二、【教学重难点】

教学重点：理解并掌握方程的根与函数零点之间的互相转化

教学难点：学会利用函数方程思想，数形结合思想，转化思想解决零点问题

三、【教学过程设计】

导入过程：函数与方程一直受到高考命题专家的青睐。通过这一思想方法的考查，可以检测学生的思维能力，转化能力，以及转化能力，从而实现知识向能力的转化。而必修1中所学的函数的零点恰好把函数与方程紧密地联系在一起。那么这节课我们探讨一下函数零点在解题中的一些应用问题。

知识回顾：（1）方程f(x)=0有实根

函数y=f(x)图像与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

（2）零点存在性定理：（1）f(x)在区间

连续不断；

（2）f(a)·f(b)＜0.结论：存在c

（a,b）,使得f(c)=0 根据大纲要求函数零点问题考查方向有三个：

类型一

求函数零点问题

类型二：判断零点的个数

类型三

根据零点情况求参数范围

类型一

求函数零点问题

题组一（1）函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________.

1

(2)判断函数f(x)=

在区间（2,3）上是否存在零点？

解：（1）求函数的零点也就是求f(x)=0的根，解得

（2）因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以f(2)·f(3) ＜0，而二次函数f(x)=

在区间

是单调递增函数且图像是不间断的，所以函数在区间（2,3）上存在零点，并且零点是唯一的。

类型二：判断零点的个数

零点的个数 题组二：（1）判断函数

1方法一：

解：当x0时，lgx0,解得x1当x0时，()x0,无解x12

方法二：图像法

(2)求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数. 方法一：通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数.

由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点. 方法二

由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.

（2）f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 解

方法一：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图. 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，

即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.

方法二

∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数. 故函数f(x)有且只有一个零点. 小结：判断函数零点个数的方法主要有：

2

（1）直接法：利用方程的根，转化为解方程，有几个根就有几个零点

（2）图像法：函数y=f(x)图像与x轴的交点的个数就是函数零点的个数

(3)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数. (4)数形结合：利用两个函数图象交点的个数判定函数零点的个数.

，讨论函数y=f(x)-a的零点个数。

变式一：已知函数

数形结合：作出y=f(x)和y=a的图像，讨论这两个函数图像的交点个数，令f(x)=a，

当a

0时y=f(x)-a没有零点

当a=0时y=f(x)-a有一个零点

当

a

1时y=f(x)-a有两个零点

当a

1时y=f(x)-a有三个零点

则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．

变式二：已知函数

1解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1. 2作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.

答案：5

类型三

根据零点情况求参数范围

题组三：已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________. 1答案

(，1) 2解析

画出函数f(x)的图象，如图所示.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知

强化训练：

f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(

) 3

A.(－∞，＋∞)

C.(0，＋∞)

答案

D B.(－2，＋∞)

D.(－1，＋∞)

1x解析

由题意可得a＝x－()(x＞0). 21令g(x)＝x－()x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞2－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点. 小结：1、已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常用的方法和思路：

（1）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后结合数形结合求解。

(2)分离参数法：尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单. 小结：

直接法

图像法知识方面：（1）判断函数零点个数的方法

定理法

数形结合（2）根据零点情况求参数范围

数形结合

分离参数思想方面：数形结合思想，转化思想，函数与方程思想

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