习题2.1ppt专用说课稿内容

2.1

指数与指数函数学案（教案）

1．根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

nx＝a，当n为奇数且n∈N*，n＞1时，nx＝a⇒

n*x＝±a，当n为偶数且n∈N时.n(2)根式的性质

①(a)n＝a(n∈N*，n＞1)．

a，n为奇数，n②an＝

a，a≥0，|a|＝n为偶数.－a，a<0，2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

11②负分数指数幂：a＝m＝n(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

aman－nnmnnm③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)；

＋②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

图象

定义域

值域

R

(0，＋∞)

过定点(0，1)

性质

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

在R上是增函数

当x>0时，0

当x<0时，y>1

在R上是减函数

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)an＝(a)n＝a.(

) (2)(－1)＝(－1)＝－1.(

) (3)函数y＝ax是R上的增函数．(

) －nn2412(4)函数y＝ax2＋1－1

(a>1)的值域是(0，＋∞)．(

) (5)函数y＝2x是指数函数．(

) (6)若am0，且a≠1)，则m

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×

(教材习题改编)化简[(－2)]－(－1)0的结果为(

) A．－9

C．－10

答案：B

(教材思考改编)函数y＝2x与y＝2x的图象关系是(

) －621B．7 D．9 A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于原点对称

D．关于直线y＝x对称

1解析：选B．作出y＝2与y＝2＝2的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．

x－xx

已知函数f(x)＝ax2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为(

) －A．(0，1)

C．(3，2)

B．(2，3) D．(2，2) 解析：选B．令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．

(教材习题改编)指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．

解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，

所以f(0)＝a0＝1.

且f(m)＝am＝3.

14－所以f(0)＋f(－m)＝1＋am＝1＋m＝.

a34答案：

3

若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知0

即1

得－2

指数幂的运算

[典例引领]

化简下列各式：

312＋2－2·2－(0.01)0.5；

(1)5411251－3－22－－32(a，b>0)．

(2)a·b·－3ab1÷4a3·b601－2()1114112111162【解】

(1)原式＝1＋×9－1002＝1＋×－＝1＋－＝.

4431061015125－1－3－32

(2)原式＝－a6b÷4a3·b2()335－15－11－－2－3262＝－ab÷3＝－a·b

ab44515ab＝－·3＝－. 4ab4ab2

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[注意]

运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

[通关练习] 化简下列各式：

27－370.5(1)(0.027)＋125－29；

13－21(4ab)·(2)1. 4－1－323(0.1)·(a·b)－23111253解：(1)原式＝0.3＋27－

21259559＝＋－＝.

9100331002(4ab)16ab8(2)原式＝3＝3＝. 53－3－222210ab10ab

指数函数的图象及应用

[典例引领]

(1)函数f(x)＝ax(

) －b3－1233－22的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是

A．a>1，b<0

C．00

B．a>1，b>0 D．0

【解析】

(1)由f(x)＝ax以0

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，

所以方程有一解．

【答案】

(1)D

(2){0}∪[1，＋∞)

1.若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？

解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．

2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围如何？

解：由例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，要使y＝|3x－1|＋m不过第二象限，则m≤－1.

应用指数函数图象的4个技巧

－1，1.

(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

[通关练习] xax1．函数y＝(a>1) 的图象大致是(

) |x|

xa，x>0，解析：选B．y＝因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B．

x－a，x<0，2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．

解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．

(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即

10＜a＜；

2(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．

1所以0＜a＜.

210，

答案：2

指数函数的性质及应用(高频考点) 指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：

(1)比较指数式的大小；

(2)解简单的指数方程或不等式；

(3)复合函数的单调性；

(4)函数的值域(最值)．

[典例引领]

角度一

比较指数式的大小

设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(

) A．a

C．b

B．a

D．b

【解析】

因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，

所以1>0.60.6>0.61.5，即b

因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，

所以1.50.6>1.50＝1，

即c>1.综上，b

【答案】

C

角度二

解简单的指数方程或不等式

1－7，x<0，

设函数f(x)＝2若f(a)<1，则实数a的取值范围是(

) x，x≥0 ，A．(－∞，－3)

C．(－3，1)

B．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) aaa－3x11<8，即1<1，因为【解析】

当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即222210<<1，所以a>－3，此时－3

【答案】

C

角度三

复合函数的单调性

1－x＋2x＋1

(1)函数f(x)＝2的单调减区间为________．

(2)已知函数f(x)＝2|2x围是________．

【解析】

(1)设u＝－x2＋2x＋1，

1因为y＝2在R上为减函数，

1－x＋2x＋1所以函数f(x)＝2的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．

mm，＋∞上单调递增，在区间－∞，上单调(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间22递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

【答案】

(1)(－∞，1]

(2)(－∞，4]

角度四

函数的值域(最值) 11

函数y＝4－2＋1在区间[－3，2]上的值域是________．

11，8

【解析】

令t＝，因为x∈[－3，2]，所以t∈2413t－＋.

故y＝t－t＋1＝2422xxx－m|22－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范um在[2，＋∞)上单调递增，则有213当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

243，57.

故所求函数的值域为43，57

【答案】

4

综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略

常考题型

比较幂值的大小

求解策略

(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小

先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解

与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致

解简单指数不等式

探究指数型函数的性质

[注意]

在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

[通关练习] 1．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．

1a＋b＝－1，x解析：当a＞1时，函数f(x)＝a＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得0无a＋b＝0－a1＋b＝0，解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝a＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得0解得a＋b＝－1，－x1a＝2，3所以a＋b＝－.

2b＝－2，3答案：－

21－，a≤x<0，2．已知函数f(x)＝2的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是－x2＋2x，0≤x≤4________．

解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，

1当a≤x<0时，f(x)∈－2，－1，

1－a，－1所以2[－8，1]，

ax1即－8≤－a<－1，即－3≤a<0，

2所以实数a的取值范围是[－3，0)．

答案：[－3，0)

指数函数图象画法的三个关键点

1－1，. 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a

应用指数函数性质解题时应注意3点

(1)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．

(2)指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论．

(3)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围．

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(

)

解析：选A．将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2－12．化简4a·b÷－a3b3的结果为(

) 31－32322aA．－

3b6aC．－

b2118aB．－

bD．－6ab

2－2a3－（－3）b－3－3＝－6ab－1＝－6a，故选C．

解析：选C．原式＝4÷3b3．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(

) A．b

C．b

431325432513B．a

D．c

151313解析：选A．因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(

) 9A．(－∞，2]

C．[－2，＋∞)

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2] 1|2x－4|11112解析：选B．由f(1)＝得a＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝3.

9933由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．

2x＋15．若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(

) 2－aA．(－∞，－1)

C．(0，1)

解析：选C．因为f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

2x＋12x＋1即－x＝－x，

2－a2－a－B．(－1，0) D．(1，＋∞)

整理得(a－1)(2x＋1)＝0，

所以a＝1，

2x＋1所以f(x)>3即为x>3，

2－1当x>0时，2x－1>0，

所以2x＋1>3·2x－3，

解得0

当x<0时，2x－1<0，

所以2x＋1<3·2x－3，无解．

所以x的取值范围为(0，1)．

6．函数y＝16－4x的值域是________．

解析：因为4x>0，所以16－4x<16，

所以0≤16－4x<16，

即0≤y<4.

答案：[0，4) 7．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．

解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，

则a2－1＝2，所以a＝±3，

又因为a>1，所以a＝3.

当0

又因为f(0)＝0≠2，

所以0

综上可知，a＝3.

答案：3 8．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

1解析：原不等式变形为m－m<2，

2x1因为函数y＝2在(－∞，－1]上是减函数，

11所以2≥2＝2，

12当x∈(－∞，－1]时，m－m<恒成立等价于m－m<2，解得－1

22xx－1x答案：(－1，2) 9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，

1124)．若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，

6＝ab，得

24＝b·a3，a＝2，结合a>0，且a≠1，解得

b＝3.xx所以f(x)＝3·2x.

111＋1在(－∞，1]要使＋≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝2323上的最小值不小于m即可．

11因为函数y＝2＋3在(－∞，1]上为减函数，

115所以当x＝1时，y＝＋有最小值.

2365所以只需m≤即可．

65－∞，. 即m的取值范围为61ax－4x＋310．已知函数f(x)＝3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

1－x－4x＋3解：(1)当a＝－1时，f(x)＝3，

令g(x)＝－x2－4x＋3，

1由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，

单调递减区间是(－∞，－2)．

1(2)令g(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝3，

2g(x)t22xxxxxxxx由于f(x)有最大值3，

所以g(x)应有最小值－1，

a＞0，因此必有3a－4解得a＝1，

＝－1，a

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

ab1．已知实数a，b满足等式12＝13，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b. 其中不可能成立的关系式有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

xx解析：选B．函数y11＝2与y2＝13的图象如图所示．

ab由12＝13得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

2．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c

D．2a＋2c<2 解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

因为af(c)>f(b)，

结合图象知，00，

所以0<2a<1.

所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

所以f(c)<1，所以0

所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又因为f(a)>f(c)，

所以1－2a>2c－1，

)

所以2a＋2c<2，故选D. xa，x>1，3．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．



(2－3a)x＋1，x≤1

0

341

(2－3a)×1＋1≥a，23答案：3，4

4.如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．

2a4a解析：设C(a，4)，则A(a，2)，B(2a，4)．又O，A，B三点共线，所以＝，故a2aaaa4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1，2)．

答案：(1，2) 5．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，

1令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈8，1.

119t－－，t∈，1，

故y＝2t－t－1＝2488229－，0.

故值域为8(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，

设2x＝m>0，

等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，

记g(m)＝2am2－m－1，

当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．

1当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，

4a过点(0，－1)，不成立．

当a>0时，开口向上，

1对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0. 4a16．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－|x|，

23(1)若f(x)＝，求x的值；

2(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；

1当x≥0时，f(x)＝2x－x，

213由2x－x＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

22将上式看成关于2x的一元二次方程，

1解得2x＝2或2x＝－(舍去)，

2因为2x>0，所以x＝1.

1122t－2t＋m2t－t≥0，

(2)当t∈[1，2]时，2t22即m(22t－1)≥－(24t－1)，

因为22t－1＞0，所以m≥－(22t＋1)，

因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．