阅读与思考 集合中元素的个数教学设计及教案分析

《

数学应用简介》目录

《

数学应用简介》课程设计------

好玩的数学------ 悖论与数学应用------

有趣的数学------

生活中的数学应用故事视频------ 高中应用题举例------

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数学应用简介》课程设计

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一、课程目标

第一节

好玩的数学

宇宙之大，

粒子之微

，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁。

大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献。

让我们走进数学世界，去领略一下数学的风采．

一：数学无处不在

1、数学伴我们成长

在你呱呱落地降临入世的第一天，医生就要检测一下你的各项健康指标，为你量量身体的长度，称称你的体重，这些都与数和量有关，这就是数学．

你会逐渐意识到这一切的一切都和数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关，这又是数学．

你进入学校，正式开始学习数学这门学科．

人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙飞船航行，任何时候都受到数学恩惠和影响．高耸入云的建筑物、海洋石油钻井平台、人造地球卫星等等，都是人类数学智慧的结晶.

随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买卖与批发、存款与保险、股票与债券……几乎每天都会碰到，而这些经济活动无一能离开数学．

二、数的发展

三、形的来源

几何学来源于生活，我们学习几何服务于生活

四、数学奖

菲尔兹奖是由已故加拿大数学家菲尔兹提议设立的，得奖者须在该年元旦前未满四十岁.1924年他在多伦多市召开的国际数学家大会上，倡议将学术会议剩余经费作为基金，并自己捐赠了部分资金.这个倡议得到了与会的各国数学家的一致拥护.1932年菲尔兹不幸病故，但是同年在苏黎世召开的国际数学家大会通过了菲尔兹奖的成立并决定从1936年起开始评定，在每届国际数学家大会上颁发，菲尔兹奖的奖品为奖金1500美元和一枚金质奖章.

在众多的世界级科学奖励中，诺贝尔奖是最高级别的奖，它为科学家所带来的荣誉可谓至高无上。但是100多年来人们不断要问，为什么没有设立诺贝尔数学奖?答案简单明了，即诺贝尔在他的遗嘱中决定的奖励是授予在物理、化学、生理学或医学领域作出最重要发现的科学家；另外，授予写出优秀文学作品的作者以及对世界和平事业作出杰出贡献的人。答案虽简单，但是是什么让诺贝尔作出决定不奖励数学家却也似乎成了一个难解的数学难题。

五、有趣数学问题举例：

金庸大侠的小说《射雕英雄传》的九宫之图，精算师等等，可以在课堂上列举很多。

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六、几个数学家的故事

祖

冲

之

，陈景润，哥德巴赫猜想，莱昂哈德·欧拉

数学伴我们成长。

人类离不开数学。人人都能学会数学。我们要与数学交朋友，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明。

第二节

悖论与数学应用

“要怀疑一切，才能有所发现！”

——古希腊数学家

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。

悖论的成因极为复杂且深刻，

对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

——百科名片

由一些小悖论可以看出悖论对人思维的挑战，但是大家不要以为悖论是错误的，认为它的存在会让数学往相反的方向走去。其实恰恰相反，它的存在会让数学的基础越来越坚固。一些悖论之所以会出现，并非恶意，是由于实际上它确实存在，也就是说数学上尚存在这个漏洞，下面，我将为讲解一下由悖论而引起的数学史上的三次数学危机和经典数学悖论

一、希帕索斯悖论与第一次数学危机

二、贝克莱悖论与第二次数学危机

三、罗素悖论与第三次数学危机

四、

经典数学悖论

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

（一）由自指引发的悖论

以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会第

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得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。

１－１

谎言者悖论

公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：

１－２

“我在说谎”

如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：

１－３

“这句话是错的”

这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章

《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指

不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”

（同上）

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罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二

级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完全是

致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。

接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。

１－４

理发师悖论

在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。

反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。

因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

１－５

集合论悖论

“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”

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人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公

设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明

集合论公理体系不完备。

１－６

书目悖论

一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？

这个悖论与理发师悖论基本一致。

１－７

苏格拉底悖论

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希腊的

大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立

“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱

逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子：

１－７

“言尽悖”

这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子第

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的这个言难道就不悖吗？我们常说：

１－７

“世界上没有绝对的真理”

我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

１－８

“荒谬的真实”

有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。

这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。

（二）悖论现实生活中例子

1.唐·吉诃德悖论

小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。

一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”

旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！

2.梵学者的预言

一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。

苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。

学者：我肯定能。

苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！

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苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说：

“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？”“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。

3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。”

学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。

苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。”

3.意想不到的老虎

公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：

“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。”迈克看着这些门，对自己说道：“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。”“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。”按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。

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迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。

4.钱包游戏

史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。”同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？

5.一块钱哪儿去了？

一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。

第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。

这一块钱到哪儿去了呢？

6.惊人的编码

外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。

赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”

基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是第

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再简单不过了！基塔先生是怎样做到的呢？基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3－0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描，

就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011……基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。”这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！

7.不可逃遁的点

帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？”帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。”克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……”

帕特明白了。你明白了吗？

8.橡皮绳上的蠕虫

橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？

乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳每次拉伸，蠕虫也向前挪了。如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未第

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在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。

9.棘手的电灯

一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。

那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！

10.回数猜想

一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反

着念都有意义的文字叫做“回文”。王融作有《春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。”回文与数学里的“对称”

相似。

如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。比如、101、32123、9999等都是回文式数。数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解

决。你任取一个数，再把这个数倒过来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。重复这个过程，一定能获得一个回文式数。

举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。

68＋86=154 154＋451=605 605＋506=1111 至今没有人能确定这个猜想是对还是错。196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得第

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回文式数。但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文式数。

数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。

在回文式数中平方数是非常多的，比如：

121=11的平方

12321=111的平方

1234321=1111的平方

……

12345678987654321=111111111的平方

立方数也有类似情况，如：

1331=11的立方

1367631=111的立方

有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。

第三节

有趣的数学

一、生活中的数学

《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事。晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。、

两个人从烟囱爬出来，一个人满脸烟灰，一个人干干净净，他们相视一会儿以后，你猜哪个人去洗澡了？为什么？——逻辑推理。

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“一笔画”的规律。

缪勒--莱耶错觉。

大金字塔之谜。

回环诗图

（见右图）。

Fraser螺旋

（见右图）。

填充错觉（见右图）。

大

恒

性

觉

荷兰美拱顶

第四节

小

常

错

术大师

M. C. Escher 作品：黑夜还是白天?圆形的

生活中的数学应用故事视频

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数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，这一学科的运用存在于生活的各个角落之中，在数学原理创立最初，数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理，并且告诉我们数学并非只是少数哲学家、牧师及科学家想像出来的东西，数学以这样或那样的方式介入了人类活动的各个领域。

第1集：讲述了古埃及、古巴比伦和古希腊数学的起源和发现，介绍了毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德和希帕蒂亚等数学家。主讲人在这集里还谈到了圆面积、直角三角形、黄金比例以及立体图形的发现，这些都是古代人在实际应用过程中提炼出来的数学精华。印象最深的，一个是埃及和希腊街头随处可见的印有数学符号和公式的床单或T恤衫，另外一个是埃及第二大港口城市亚历山大的图书馆。实际上从这集可以看出，古代人已经开始无意识地将数学分为应用数学和纯数学两类，以不同角度进行研究，开启了崭新的数学时代。

第2集：讲述了亚欧大陆对的数学贡献。主讲人的第一站是中国。他先在长城上介绍了中国读数使用的个十百千的竹签摆放方法和十进制的位值体系，并谈到古代中国人的计算方法和现代世界人在学校学到的数学方法非常相近。在长城上讲完竹签，主讲人又来到了北京市内，并讲到了几何矩阵、洛书等中国古代数学发现，比较有趣的是他说中国古代皇帝要在15天内和121个后宫嫔妃同床，于是皇帝的数学顾问发现这些人可以排列成1、3、9、27、81这样的几何数列，从后往前每组数字都是前一组的3倍，这样前三天就是1、3、9个人侍寝，从第四天开始到第15天，也是每天9个嫔妃侍寝。哈哈哈!突然觉得这种想法好喜感，想起天涯娱乐八卦上曾经很红的一个动态图：“微臣很忙，我啦啦啦上朝廷，因为我爱我大明，周末都不肯休息，只为了江山社稷。”。这个gif图可以恶搞成“皇帝很忙，我啦啦啦上龙床，因为我爱我老婆，半个第

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月都不肯休息，只为了龙脉传袭。”。还有“阴”和“阳”真的好红啊，上次看那个西班牙电视剧《天使亦魔鬼》里也提了，这个纪录片里也讲了点。不得不说这纪录片里讲中国古代皇帝的八卦讲得还有点小萌。然后他又去了中国的菜市场，讲中国古代的人是怎么根据一堆李子和桃子的重量，推算出一个李子和一个桃子的重量，听着像在解二元一次方程的感觉。主讲人也说，这种方程的解法，西方直到19世纪初才出现(1809年德国数学家卡尔•弗里德里希•高斯为了分析一个小行星而设计了这种方程式)。主讲人不肯离开菜市场，接着在鸡蛋摊上开讲中国古代的剩余问题(就是一个大一点的数除以一个小一点的数余几。但纪录片里讲到的情况是已知小一点的数和余数，求被除数的问题)。离开菜市场，主讲人去帝都最大的广场开始介绍中国古代南宋数学家秦九韶和他的三次方程。接着，主讲人去了印度，开始讲零和负数的发现。印象比较深的是他在一家卖纱丽的店里用手拍一沓塑封的纱丽时用特效做出数字飞起来的样子，非常美。主讲人在印度街头穿行时开始介绍二元二次方程在印度的发现以及印度人最早用符号代替方程中的数字(比如x和y)。然后是三角学在印度的发展，马德哈瓦和无穷级数、π。下一站主讲人来到中东，开始介绍古代伊斯兰世界对数学研究的贡献：印度阿拉伯数字、代数学、海亚姆(除了数学家的头衔，他还是一位著名的波斯诗人，也是诗集巨作《鲁拜集》的作者)对任意三次方程的一般解法的探索。当主讲人结束了亚洲之行前往意大利，开始了他的欧洲数学之旅。首先介绍给观众的是13世纪意大利著名数学家斐波那契，谈到他自由随父亲在北非穿梭，回到意大利后斐波那契将阿拉伯世界的数学知识(比如阿拉伯数字)介绍给欧洲人，对欧洲数学的发展产生了重大的影响。此外主讲人在这集里还介绍了斐波那契数列、16世纪意大利博洛尼亚的塔塔里亚发现的任意三第

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次方程的一般解法、以及费拉里利用塔塔里亚的三次方程求根公式研究出的四次方程一般解法。这集介绍的内容非常丰富，极具史料价值。

第3集：主讲人来到了意大利。首先通过绘画技法中的透视法及代表作品，介绍了文艺复兴时期意大利的皮耶罗•德拉•弗朗西斯卡将数学与绘画完美地融合在一起的艺术手法。接着主讲人来到法国以笛卡尔命名的村庄，讲述了数学与卧床冥想之间的有趣联系。离开法国，主讲人来到荷兰莱顿，继续讲述笛卡尔在当时的激进思想，介绍了笛卡尔提议将代数与几何相结合的想法，并谈到了横纵坐标。介绍完笛卡尔，主讲人又介绍了与笛卡尔同时代的另一位法国数学家马兰•梅森，以及皮埃尔•德•费马。17世纪的英国也出现了许多著名的数学家，比如以物理成就为多数世人所知的、本人同样也是数学家的牛顿。接着，主讲人由牛顿引出同时代的德国数学家戈特弗里德•莱布尼茨，两人各自独立创立了微积分。哈哈哈，目前为止，在这一集里主讲人说了两次真正的数学家喜欢躺在床上思考……主讲人来到瑞士，介绍了瑞士巴塞尔著名的伯努利家族，这一家族在17至18世纪期间连续出现了许多位数学家。主讲人由伯努利家族引出瑞士另一位数学巨匠莱昂哈德•欧拉。在俄罗斯的圣彼得堡参观欧拉当年的住宅时(如今是一所学校)，主讲人还趁参观完大家都离开的时候，在一间教室写满数学公式的黑板上纠正了一个方程式里的错误……哈哈哈，这主讲人真的好萌……接着，主讲人比较了18世纪工业革命席卷欧洲大陆时，法国和德国对待数学的两种不同态度：法国注重数学的应用，而德国则是注重数学本身的价值。主讲人由此介绍了德国的哥廷根大学。我最早知道哥廷根大学不是因为高斯，而是因为看了季羡林老先生写的《留德十年》，因那本书中对哥廷根大学的描写而留下了非常深刻的印象，没想到能在这部纪录片中看到哥廷根大学的实况。主讲人在哥廷根小咖啡馆点咖啡的时候也说了句德语，感觉第

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他说的态度就很谦虚，完全没有《德国艺术》那个纪录片里的主讲人在南德参观时候似乎故意炫耀自己会德语似的那种洋洋得意的样子。介绍高斯的同时，主讲人来到罗马尼亚一处叫塔古•莫里什的地方，向观众介绍那里的一位隐世数学家雅诺斯•鲍耶及他的“双曲几何”。主讲人提及高斯对其他数学家帮助很少，但却提携了哥廷根的另一位数学大师伯恩哈德•黎曼。黎曼将高维几何从笛卡尔时代的想象变为了现实。

第五节

高中应用题举例

例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。

解：容积=底面积×高= 48 

底面积×3 = 48 

底面另一边长：m =池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a

∴

y = 6(x +16)a + 32a

( x > 0 ) x1616)a = 6(x +)a

xx16

x例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.

x 解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 7x 67x2x

367x6

即窗框的面积

y = 3x ·= 7x2 + 6x

( 0 < x <) 3739

配方：y =7(x)2

( 0 < x < 2 ) 77336∴

当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过777

∴

窗框的高为3x，宽为窗框面积最大. 例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品第

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的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？

分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价进货单价= 10 8 = 2

（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 10x个

∴

每个商品的利润y = (2 + x )( 100 10x ) = 10x2 + 80x + 200 = 10( x  4)2 + 360 即当x = 4时，y有最大值360

∴

当每个商品的单价为14元时，利润最大. 例4．与增长率相关的问题：

〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x年

增长率为负：原产量×(1 

增长的百分率)经过x年

例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式. 解：设经过x年后，年产量为y, 则y = a( 1 + p%)x

例6. 画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：

（1）

第10个正方形的面积

（2）

这10个正方形的面积的和

解：（1）设{an}表示各正方形的面积

∵

a1 = 22 = 4, a2 = (22)2, a3 = 42 = 8 ∴

{an}是公比为2的等比数列

第10个正方形的面积a10 = a1q9 = 4×29 = 2048 (厘米2) a1(1q10)4(1210)（2）这10个正方形的面积和S104092

（厘米2）

1q12例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？

解：设球落下的高度依次为a1, a2, …, a10 . ∵

a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25

∴

{an}是公比为的等比数列

1100[1()10]255752则球第10次落下时落下的路程为S10200

11281212∴本球共经过的路程为S = 2S10

 100 ≈300 （米）

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例7．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？

解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2 = 2py y 依题意知：x = 2时，y = 2代入方程得p = 1 x

即抛物线方程为

x2 = y, 当水面下降1米时，y = 3  x =0 3

2

∴

水面宽为2x =23≈3.5 (米) 4 例8．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地

y

球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫

星的轨道方程. B F1 F2 A ·

·

x O 解：如图建立坐标系

∵

a

c = |OA|  | OF2| = |F2A| = 6371 + 439 = 6810 a + c = |OB| + |OF2| = |F2B| = 6371 + 2384 = 8755 ∴

a = 7782.5, c = 972.5 

b2 = 7721.52

x2y21

即卫星的轨道方程是：步2277837722例9．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程. 解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t + 3秒后听到爆炸声，爆炸y 点设为M M

则

|MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020

两式相减：|MA|  |MB| = 1020

(|AB| = 1400> 1020) A O B x

∴

炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线

以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）

∴

A(700, 0 ), B( 700, 0 )  c = 700 且

2a = 1020 

a = 510 

b2 =229900 x2y21

( x > 0 )

炮弹爆炸的轨迹方程是：260100229900例10．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区. P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程. 解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：

M （1）沿PA线路

（2）沿PB线路

（3）沿PA、PB线路都相同

B 故分界线以第（3）种情况划分：即

A

|PA| + |MA| = |PB| + |MB|  110 + |MA| = 150 + |MB|

∴

|MA||MB| = 40, 即知分界线是以A、B为焦点的双曲线

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P 20

AB = 50  2c = 50 

c = 25, 2a = 40 

a = 20 

b2 = 225 若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系

则分界线方程是：x2y24002251

（在矩形内的一段）

注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离. 练习：

：

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