习题3.1优质课教案

2018年高考备考二轮复习专题

数学思想方法——数形结合思想

数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

一、

思想解读

数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，主要包括以下两个方面：

(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确。

二、应用角度

1.构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围；

2.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式；

3.构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围。

三、例题分析

例3．(2017·南昌第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex (e为自然对数的底数)的零点个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 1－x1【解析】

当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，

f′(x)＝x－1＝x，

所以x∈(0，1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减．

因此，当x＞0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0. 根据函数f(x)是定义在R上的奇函数，

作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图象，如图，

观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，

所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点．故选C.

【类题通法】

用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表

达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．

→例4．已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP|→→→＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是(

) 37＋6337＋2334349A.4

B．4

C.

D.

4422设

P(x，y)，则点P的轨迹方程为x＋(y－3)＝1. 设

M(x0，y0)，则2x0＝x+3，2y＝y0+0，

∴

x0＝2x-3，

y＝2y0，

M∴点

的轨迹方程为x－A

23

(0，3)

32321＋y－＝，

242P

它表示以

133，为圆心，以为半径的圆，

222(－3，0)

B

M

C

(3，0)

→249所以|BM|max＝.

4

利用数形结合思想探究问题的应注意以下几点：

(1)无论是“以数辅形”，还是“以形助数”，都要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．

(2)二要注意“数中寻形”，借助于图形的几何性质，给烦琐的运算以简便的解释，同时也要懂得在“形中觅数”，将几何问题代数化，降低思维难度．

四．【对点训练】

314．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，2x＋2，x2－4x＋3中的最大者，则f(x)的最小值是(

) A．2

B．3

C．8

D．－1

31[解析]：如图作出函数y=－x＋3，y=2x＋2，y=x2－4x＋3的图像，依题意，

f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B(1，2)，所以函数f(x)的最小值是2，故选A.

|x|，x≤m5．(2017·惠州第三次调研)已知函数f(x)＝2，其中m＞0，x－2mx＋4m，x＞m若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

[解析]：作出函数的图像，如图所示，

要使f(x)＝b有三个不同的根，

∴必须满足m＞m－2m＋4m，

∴m＞3

6．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(

) 2A．1

B．2

C.2

D.2

[解析]：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．

如图所示，

→→→→→设OC＝c，OA＝a，OB＝b，CA＝a－c，CB＝b－c，

→→→→即AC⊥BC.又OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆．

当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为2. 22

五．反馈检测

六．课时作业

《专题强化训练》P85#1，4，

P86#12，14