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分段函数的几种常见题型及解法

教学内容分析：

分段函数是很重要的函数，学生在学习了第一章、第二章内容之后，已基本了解了函数的性质，而对于分段函数，学生在学习过程中接触的不太多，所以有必要做系统的探究。

教学目标：

知识目标：分段函数的性质及应用

能力目标：学会利用函数的性质解题，利用数形结合思想直观明了快速解题

情感、态度与价值观目标：培养学生正确利用函数性质解题，掌握分段函数重要题型的解法

学习者特征分析：

学生在学习和掌握了函数知识后，对函数的性质有了初步认识，但是分段函数的有关学习，由于课本没有专门系统的研究，所以对于学生来说是有障碍的。因此学习起来有一定的难度，但是通过本节课的教学，会使学生逐步掌握如何解决分段函数的有关问题。

教学策略选择与设计：

教师创设情境启发、引导，学生自主探究、思考、讨论、交流学习成果。

新课程注重学生的主动学习，发挥学生的主体作用，因此，本课在教学的设计上将充分发挥学生的主观能动性，并与图形相结合，通过自己的探索加上教师的引导，让学生分类，从中体会到探究的乐趣、知识的魅力、应用的价值，开阔学生的视野，锻炼学生的思维。

教学重点及难点：

重点：

分段函数的概念，性质及应用

难点：分段函数的定义理解，分段函数单调性的应用

教具准备： 多媒体课件

教学过程：

一、

复习回顾

分段函数的定义？

分段函数：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数。分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

例如： f(x)x,x0

x,x0

（对于分段函数，涉及到求值，奇偶性判断，单调性应用等问题，如何解决呢？本节课我们就来探究这几个问题）

二、

应用举例

【类型一】有关求值

1x,x0例1

设f(x)

，则f[f(2)]

（

C

）

x,x02A.

1

B. 解：113

C.

D.

42212

020

，

f(2)241111f[f(2)]f()11

4422log2(x1),x0

g(x),x0例2

设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g[f(7)]（

D

）

A.

3

B. 3

C.

2

D.

2

解：方法一：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(7)f(7)3

所以g[f(7)]g(3)f(3)f(3)2

方法二：当x0时，x0，所以f(x)log2(x1)

又f(x)f(x)，所以f(x)log2(x1)

即g(x)log2(x1)(x0)，又f(7)f(7)3

所以g[f(7)]g(3)log242

【类型二】有关奇偶性

2xx,x0例3

判断函数f(x)2

的奇偶性？

xx,x0

思考：

你会选择怎样的方法来判断？

解：方法一：图象法（略）

方法二：定义法

显然函数f(x)的定义域为(,0)(0,)，关于坐标原点对称。

22当x0时，x0，则f(x)(x)x(xx)f(x)

当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)

综上可知，对定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，所以函数f(x)是奇函数。

（学生讨论，板演，教师点评，纠正其规范性）

【类型三】有关单调性

(2a)x1,x1例4

如果函数f(x)x在R上为增函数，

a,x1那么a的取值范围是

[,2)

。

温馨提示：函数的单调性是相对于某个区间而言的，反应在图象上，体现的是在这个区间上的一种整体趋势。

解：数形结合解决问题。通过作出图象，结合图形得到结果。

322a03

a1解得a2

2(2a)11a所以a的取值范围是[,2)

三、

课堂练习

322x12,x1已知函数f(x)，且f(a)3，则a

log2(x1),x1解：当a1时，2a123，即2a11，显然无解

当a1时，log2(a1)3，即log2(a1)3，解得a7

四、

课堂小结

通过本节课的学习，你有怎样的收获？（提问学生）

通过学习，了解了分段函数的性质及其应用，掌握了常见题型的解法。

五、

作业布置

x24x,x4设函数f(x)，若函数yf(x)在区间(a,a1)上单调递增，则logx,x42实数a的取值范围是

(,1][4,)

（分析：利用图象可得结果）

六、

板书设计

课题：分段函数的几种常见题型及解法

例1

例2

例3

例4

课堂练习

七、

课后反思

分段函数的学习是高中数学中的一个难点，学生不太容易理解和掌握，所以必须要系统的进行探究，通过典型例题的讲解，从而突破这一难点。

通过教学发现，学生基本掌握了分段函数的有关知识，并能够对常见题型进行解答，收到了很好的效果。