习题2.1教学目标设计

指数与指数函数

课题

指数与指数幂的运算---根式

总课时

1

班级（类型）

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算. 教学难点：当n是偶数时，n1、理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力. 2、通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对当n是偶数时，n学习

目标

aa0naa的理解

，培养学生分类讨论aa0学习重、难点

aa0aaaa0n的意识. 的得出及运用. 学生活动

教师反思

学习环节和内容

一、复习准备：

1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（a2、a3）

2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. →

记法：a,3a

3、填空1若x2a，则x叫a的 .如：2是4的平方根. 一个正数的平方根有 个，它们互为 数；负数没有平方根；零的平方根是 . 2若x3a，则x叫a的 .如：2是8的立方根，2是8的立方根. 一个正数的立方根是一个 数，一个负数的立方根是一个 数，0的立方根是 . 3类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的 ；一个数的五次方等于a，则这个数叫a的 ；一个数的六次方等于a，则这个数叫a的 ；……；一个数的n次方等于a，则这个数叫a的 ；

二、创设情境，新课引入：

问题1（课本P48问题1）：从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3℅．那么，在20012020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？

引导学生逐年计算，并得出规律：

设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y1.073(xN*,x20)．

问题2（课本P58问题2）：

当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．

x1根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P()5730．

2

t

学生对问题（14）

的相互交流讨论后,教师及时启发学生，相互交流讨论后回答，引出课题.

1

23111111

,,…．是正整数指数幂．它们的值分别为，，…．

248222

60001当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为()5730，

2

100001000001573015730

，()，这些式子的意义又是什么呢？

()22

问题3：.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为

多少万？

教师提示,问题4：. 给一张报纸，先实验最多可折多少次? 引导学生计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚回忆初中度？

的时候已小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自经学过的然科学.这些正是本节课要学习的内容．

平方根、立三、师生互动，新课讲解：

方根是如（一）主要知识要点学习（列出知识点，要求学生课前预习，学习中抽学生回答，老师释疑）

何定义的,1、a的n次方根：一般地，如果xna，则x叫a的n次方根，其中n1且nN*. 对照类比平方根、立问：

16的四次方根是 .32的五次方根是 .32的五次方根方根的定是 . 义解释给2、一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？（给出的填空。

学生留点时间进行探究）得出结论：

（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根. （2）一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数. （3）0的任何次方根都是0. 当生物死亡了5730,25730,35730,…年后，它体内碳14的含量P分别为nn为奇数，a的n次方根有一个为a即

a为正数：

nn为偶数，a的n次方根有两个为an为奇数，a的n次方根有一个为na 0的n次方根为0，记为n00

a为负数：n为偶数，a的n次方根不存在注意：

正数a的正的n次方根na叫做a的n次算术根. 3、式子na

叫做根式，这里n叫根指数，a叫被开方数. 探究：（1）16＝ . （2）从（1）你有何发现？ （3）aa一定成立吗？为什么？

得出结论：aa

235＝ ；nn27＝

；n344n

2

探究2：1333 ；32 ；525 ；53＝ . 352由1你发现了什么结论？

322＝ ；32＝ ；424＝ ；434＝ . (2)2＝ ；(3)2＝ ；4(2)4＝ ；4(3)4＝ .

4由3你发现了什么结论？

a(a0)4、当n是奇数时，nan＝a，当n是偶数时，nan|a|

a(a0)四：题型学习与归纳

题型一：求下列各式的值: 13(8)3;2(10)2;34(3)4;4abab

2对应练习:1、求出下列各式的值: 17(2)7;23(3a3)3a1; 34(3a3)4. 2、下列各式中正确的是( ) 14a4a; 26(2)2=32; 3a01; 410(21)5=(21). 4解：1a4a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写nana,故本题错. =32,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,26(2)22结论为6(2)=32,故本题错. 3a01是有条件的,即a0,故本题也错. 4是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选4. 归纳：考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质. 题型二：化简

322+322=_________ 引导：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示、引导学生解题的思路

解：1322=122(2)2=(12)2=21.

3

322=(2)2221=(21)2=21. 所以322+322=22. 归纳：不难看出322与322形式上有些特点,即是对称根式,是的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 五、课堂小结，巩固反思：

知识点：1根式：如果xa，那么x叫做a的n次方根．

nA2B形式2根式性质：(na)na

(n1,nN*)． 3nanan为奇数．

|a|n为偶数题型：1计算下列各式的值；2化简

六、新课预习设计

填空并思考下列式子和答案之间的联系

5（1）364______,

（2）481______,

32_______；481______；312（3）(43)4______, (4)5a10_____,

(56)5______；a_______；5（5）5（2）___,7(3)7_____；

（6）6(4)6____,454______.

4

课题

2.1.1(2)指数与指数幂的运算：分数指数幂

总课时

1

班级（类型）

学重点：

次方根的概念及其取值规律. 教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究. 学生活动

教师反思

学习

目标

1理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算.

2理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算. 学习

重、

难点

学习环节和内容

一、复习回顾：

指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过. 1、填空

5（1）364______,

（2）481______,

32_______；481______；312（3） (4)5a10_____,

(43)4______,(56)5______；a_______；5（5）5（2）___,7(3)7_____；

（6）6(4)6____,454______.

2分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：(a2)5a10,5a10a2；510也可根据n次方根的性质来解：a5(a2)5a2. 问题1：观察5a10a2,4a12a3，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

aaa,aaa，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：aa是否可行？

分析：假设幂的运算性质(a)a23510105241212343223

给出具体的根式转化为分数指数幂的练习，从中发现分数指数幂中的不同形式

mnmn对于分数指数幂也适用，那么(a)a2233233a2，这说明a也是a的3次方根，而3a2也是a的3次方根（由于这里n3,a的3次方根唯一），22于是aa.这说明aa可行. 由此可有引出本节课的内容. 二、师生互动，新课讲解：

知识点一：正数的正分数指数幂的意义：amn32233223nam(a0,m,nN*,且n1)

5

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性.根式与分数指数幂可以进行互化. 疑问1：在上述定义中，若没有“a0”这个限制，行不行？

分析：正例：(8)反例：(8)124n13382,5(2)2610(2)105(2)4,(2)3(2)2等等；

2231331282,(8)6(8)22,而实际上；又如：

36434124（8）（8）（8），（8）48124（83）83.这样就产生了混乱，因此12“a0”这个限制不可少.至于(8)分数指数幂，513382，这是正确的，但此时(8)不能理解为1312不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标.而3610523(2)5(2),(2)3(2)2，那是因为(2)10210,(2)222，负号内部消化了. 疑问2：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿. 知识点二：负分数指数幂：amn1amn(a0,m,nN*,且n1)

知识点三：0的分数指数幂：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）. 知识点四：可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即. arasars(a0,r,sQ)；(ar)sars(a0,r,sQ)；(ab)rarbr(a0,b0,rQ)

三、例题讲解

题型一：求值

15163例1（课本P51例2）：8；25；()；()4（过程略）

2812312对应练习：

求下列各式的值：118125； 227；

3；

4．6100001223334题型二：用分数指数幂的形式表示下各式

例：2用分数指数幂的形式表示下各式（其中a0）:（过程略）

a3a；a23a2；a3a

题型三：化简计算

例3：计算下列各式（式中字母都是正数）: 1(2a23b)(6ab)(3ab) 2(mn)

121213165614388（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）

6

分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序. 解：1原式=[2(6)(3)]a148388211326b115236 =4ab =4a

0 2原式=(m)(n) =mn

23例4：（课本P52例5）计算下列各式: 1(325125)25 24a2a.a32(a＞0）

分析：在第1小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第2小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算. 解：1原式= (25125)25= (55)5= 5131214233212213253122 = 55= 655

162原式=a2aa1223a12223a6a5

56小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 四、课堂练习

331计算8230.002120.23252125123

0a22化简bb3a14a

b32212123已知aa5,求aa,aa,a3a3的值. （其中无理数e2.718），求4已知fxexex,gxexex，fxgx的值

225已知102,103,求10033

五、课堂小结，巩固反思：知识点 题型

数学思想

六、新课预习设计：

1.预习教材48页的两个问题, 并从两个例子中得到的关系式里找到异同点；

2.回忆以前怎样去研究函数，具有哪些性质.

7

课题

2.1.2指数函数（教学设计）

总课时

3

班级（类型）

1.

理解指数函数的定义,初步掌握指数函学习

目标

数的图象,性质及其简单应用. 2.

通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

学习重、难点

教学重点和难点：从图形中体现出函数的性质，并进行应用.

学习环节和内容

一、复习回顾，新课引入

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数

y与x之间,构成一个函数关系,能写出

x与

y之间的函数关系式吗? 由学生回答:

y与

x之间的关系式,可以表示为

y2. 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了

x次后绳子剩余的长度为

y米,试写出

y与

x之间的函数关系. x学生活动

教师反思

1

由学生回答:

y. 2你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗? 共同点: ;

不同点: .

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量

x均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动，新课讲解：

新知：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

问题：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？

xx0时ya0①

a0,则

xx0时a无意义x

②

若a0，如y4，对于x意义，对于xx1x(kN),在实数范围内y4无2k1x(kN),在实数范围内y4有意义，并且极为2k1复杂，我们不必研究它. ③

a1，则y1是一常值函数，没有研究的必要．

思考一:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?

8

研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质.

研究内容: 定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

思考二:如何来画指数函数的图象呢? 列表如下：

x

…

-3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …

y2x

…

0.13 0.25 0.5 x0.71 1 1.4 1 1.4 2 4 8 …

1y

2…

8 4 2 0.71 0.5 0.25 0.13 …

1再描点，画出指数函数y2,y的图象

2xx

1思考三:

观察两图象有什么特征?函数y2x,y的图象有什么关系?能否由21y2图象得到y图象? 2xxx思考四:选取底数a的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们的性质? 在同一坐标系中画出下列函数的图象：

1x1xy()y()3y2x4y3x5y5x

2132通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢? 从特殊到一般,指数函数ya(a1)有哪些性质?并类比得出ya(0a1)的性质. 归纳：一般地，指数函数ya(a0,且a1)的图象和性质如下表所示．

xxxa1

0a1

9

图

象

定义域

值域

R

(0，+)

1过定点(0,1)，即x0时，y1．

性质

2在R上是增函数

图象特征

2在R上是减函数

函数性质

a1

0a1

向x,y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点0,1

自左向右看，

图象逐渐上升

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

图象上升趋势是越来越陡

自左向右看，

图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越缓

a1

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R

0a1

a01

增函数

减函数

x0,ax1

x0,ax1

x0,ax1

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

x0,ax1

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

三：题型学习及归纳

题型1：根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数. 1yx

2y0.33yx233x34y242x115y. 44xx3解：指出只有1和3是指数函数,其中3可以写成

y9,也是指数图象. 最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它

10

的图象,再细致归纳性质. 题型2：（课本P56例6）：已知指数函数yax(a0,且a1)的图象经过点3,，求f(0)，f(1)，f(3)的值．

题型3：求下列函数的定义域：

1y10； 2y0.8

； 3y33x1x1x4

；4y1()

x12题型4：比较下列各题中两个值的大小：

11.72.5,1.73 20.80.1,0.80.2 31.7解：利用函数单调性

①1.72.530.3，0.9

3.1与1.7的底数是1.7，它们可以看成函数y1.7x，当x1.7和3时的函数值；因为1.71，所以函数y1.7x在R是增函数，而2.53，所以，1.72.5<1.73；

②0.80.1与0.80.2的底数是0.8，它们可以看成函数 y=0.8，当x0.1和x0.2时的函数值；因为00.81，所以函数y0.8x在R是减函数，而0.10.2，所以，0.80.1<0.80.2；

1.7 1；0.9 1；④

下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3 0.93.1

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 题型5：如图，则a,b,c,d与1的大小关系是

（

）

A ab1cd B ba1dc C ab1dc D 1abcd

题型6：解下列指数不等式：

0.33.112x32；2(2)x16；33x127

题型7：

说明下列函数的图象与指数函数y=2的图象的关系，并画出它们的示意x12

11

图：1y2x1； 2y2x2．

解：1比较函数y2x1与y2x的关系：y231与y22相等，

y221与y21相等， y221与y23相等，……

由此可以知道，将指数函数y2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y2x1的图象．

2比较函数2y2x2与y2x的关系：

y212与y23相等，

y202与y22相等，y232与y21相等，

补充：图像平移变换：左加右减，上加下减。

题型8：求函数y12x22x的单调区间，并证明. 2x22x212x1(x2x1)(x2x12)2x12x22x1y121解：设x1x2则2

2x12x1y11222 ∵x1x2 ∴x2x10

当x1,x2,1时，x1x220

这时(x2x1)(x2x12)0

即

y21 ∴y2y1，函数单调递增

y11,时，x1x220

这时(x2x1)(x2x12)0

当x1,x2 即

y21 ∴y2y1，函数单调递减

y1

12

∴函数y在,1上单调递增，在1,上单调递减. 解法二、（用复合函数的单调性）：

1设：ux22x 则：y，对任意的1x1x2，有u1u2，又∵211y是减函数∴y1y2 ∴y22uux22x在[1,)是减函数

u1对任意的x1x21，有u1u2，又∵y是减函数

2∴y1y2 ∴y12x22x在[1,)是增函数

归纳：复合函数的单调性：（同增异减）

ugx

增函数

增函数

减函数

减函数

yfu

yfx

增函数

减函数

增函数

减函数

增函数

减函数

减函数

增函数

变式训练：根据复合函数的单调性，求下列函数的单调区间. 1x31x22xx22xy()y()；；

231y252题型9：求下列函数的值域：

1212y()x2x；2y2x2x

23求函数y32x23x1在区间1,1的值域. 四：课堂小结，巩固反思：知识点

类型题

数学方法

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