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1 “数形结合法”的运用 温镇辉

“数”和“形”是数学研究的两大对象。数形结合法是一种重要的数学思想和一种常用的数学方法。“数”是指数据与式子——函数、方程、不等式、数列、复数、排列组合等，“形”可理解为几何图形——解析几何、立体几何等。

数学解题中的数形结合，就是对题目中的条件与结论既分析其代数含义又分析其几何含义，力图在代数和几何的结合上去找出解题思路。下面举例说明：

例1：不等式x23x4的解集是________。 y 解：分别画出函数yx23x与y4的图象，

从图象可以看出满足不等式x23x4的

解集是xx1或x4。 -1 o 4 x

2评注：用数形结合法解题显得直观、简捷。若用代数解法，可把不等式x3x4化为x23x4或x23x4来求解，抽象、繁琐。

例2：实数x ,y 满足x2y24x30，求2x + y

的最值。

解：设2x +y = b，则

y= -2x +b

是一组 y 平行直线，其中b是直线y= -2x +b

在 bmax

y轴上的截距.当直线与圆x22y21

相切时，b取得最大、最小值。由点到直

bmi

n线的距离公式，得22b51，b45，

o

x 因此，bmax45,bmin45。

评注：本题的解题关键是赋予2x+y截距的几何意义。该题也可用判别式求解。类型题有：

2 (1)

如果实数x , y满足x2y23，那么2y的最大值是_________。

x(2) 如果实数x , y满足x2y22x4y0，那么x2y的最大值是_________。

例3：x1x12x13x14x15展开式中，x2的系数等于________。

解： -1 2 -1 1 -3 3 -1 -1 4 -6 4 -1 1 -5 10 -10 5 -1 -1-3-6-10=-20 01233即：C2

C3C4C5C6评注：低次幂的展开式用杨辉三角解答有一定的优势，一目了然。当然该题也可先求和，再6x1x1用通项公式求值：原式=,33C6x120x3。

3x例4：已知复数z的模为2，则zi的最大值是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 3 y 解：z2表示圆心在原点，半径为2的

圆。由复数向量的三角形法则和模的定义 -2 o 2 x 知，zimax=3。 Z-i 评注：其实，原式zi213。复数具有明

确的几何意义，充分体现了数形结合的观点。这种题型很多，如：设z是复数，且满足

z33i3，当z的辐角主值最小时，z=__________。

例5：直线y2xm与曲线y9x2恰有一个公共点，则m的取值范围是_______，恰有二公共点时，m的取值范围是________。

解：分别作出直线y2xm与曲线y9x2的图象，由图象知恰有

3 一个公共点时6m6或m35， y

恰有二个共点时6m35。 6 评注：“动”是绝对的，“静”是相对的，这是

自然规律，也是一种重要的数学思想。通过平 o x 移直线，运用点到直线的距离公式，就可得出

所求的值。 -6

例6：已知抛物线x24y和点A（2，-3），在抛物线上求一点M，使M到A和抛物线焦点的距离之和最小，并求出这个最小值。

解：抛物线的焦点F(0，-1)，准 y 线l为y=1，由抛物线的定义知， 1 N |MA|+|MF|=|MA|+|MN|,其中M为 o x 抛物线上的点，N为MNl的垂 F M

足。所以，当A、M、N三点共线 A 时，所求的距离最小，最小值为|-3-1|=4。

评注：使用定义，化“折”为“直”，运用“线段最短”的概念解题，充分体现了数学概念在数学学科中的重要地位。

例7：求函数yx22x5x26x25xR的最小值。

y

解：yx22x5x26x25 B

x12022x32042， A

点Mx,0在ｘ轴上，而点A、B坐标为 M

o x

A1,2、B3,4。先求出点B关于ｘ B

轴的对称点B/3,4，则AB/为所求。AB/13224252。

评注：这是一例非常典型的数形结合法。把抽象的函数关系转化为直观的两点距离，解题思路独特。

例8：求函数ycosx3的值域。

sinx2解：把y看作一直线的斜率k，由斜率公式知,该直线必过点

4 Msinx,cosx,A2,3。设该直线方程为 y ykx23，而点

M在圆x2y21 M 上，当直线与圆相切时，k取得最值。

-1 o 1 x 由点到直线的距离公式，得k2k31k21，

623623623,，即y。

A

3331t232x评注：该题也可令tgt，则y1t，因为t是实数，所以由判别式0，就可2t221t2求得y的值域。

例9：设方程2xx40的根为，设方程log2xx40的根为，则=_______。

解：分别画出函数y2x,yx4， y y2x y=x

ylog2x的图象，得出交点的坐标

Ax1,y1,Dx2,y2，因为y2x和 ylog2x

ylog2x是互为反函数，由对称性 o x 知x2y1,又点A、D在yx4

yx4

上，因此x1x2x1y14。

评注：对于一些特殊方程用常规方法是不能求解的。使用“数形结合法”往往迎刃而解。

从上面例子可以看出，数形结合法将抽象的数学语言与直观的几何图形相结合，取长补短，利用几何图形的直观性来寻求解题思路，进而求得正确的答案。

广东省汕头市第二中学