3.4.1 函数与方程公开课教案

二次函数与一元二次方程教学设计

总

课

题

函数与方程

课 题

二次函数与一元二次方程

总课时

主备人

3课时

第1课时

1、知识和能力

会用函数图象的交点解释方程的根的意义；能结合二次函数的图象与x轴交点的个数，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；进一步认识到方程的解就是两函数图象交点的横坐标。

2、方法和过程

教学目标

通过学生观察、讨论、思考，体验和理解函数与方程的相互转化的思想；感受算法思想；会运用数形结合的方法解决有关数学问题。

3、情感态度价值观

通过学习使学生能认识到事物之间不是孤立的，是存在普遍联系的，学会用联系的观点去看待问题，处理问题，解决问题。

教学重点

用数形结合的思想研究二次函数与一元二次方程的关系

教学难点

数形结合思想的运用

引 言

师:同学们在2.3.1节中,我们利用对数运算求出了方程0.84=0.5的近似解. x●利用函数图象能求出0.84=0.5的近似解吗？

●利用什么方法能求出方程logx=3-x的近似解？

师:要解决这一问题必须要掌握函数与方程的关系,本节课我们共同研究这一问题. (屏幕展示课题:函数与方程) 师:我们主要研究二次函数与一元二次方程的关系. (屏幕展示副标题: 二次函数与一元二次方程) x一、问题情境

情境:观察二次函数y=x-2x-3的图象.（屏幕展示）

2问题:通过图象观察,指出函数y=x-2x-3的图象与x轴的交点坐标. 2二、学生活动

问题1:（屏幕展示）观察图象,指出x取哪些值时,y=0. 学生观察得到:x=-1和x=3时y=0 22问题2:（屏幕展示）一元二次方程x-2x-3=0的根与函数y=x-2x-3有何关系? 22学生讨论得到:（屏幕展示）一元二次方程x-2x-3=0的根是函数y=x-2x-3的值为零时自2变量x的值,也就是函数y=x-2x-3的图象与x轴交点的横坐标. 22师:我们也称一元二次方程x-2x-3=0的根叫函数y=x-2x-3的零点. 三、建构数学

问题3:请你将上述结论推广到一般情况. 启发学生回答.老师总结如下: 2(屏幕显示):

一般地，一元二次方程axbxc0（a0）的根就是二次函数yax2bxc(a0)的值为0时自变量x的值，也就是函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标。因此，一元二次方程ax2bxc0的根也称函数y=ax2+bx+c（a≠0）的零点。

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教师和学生一起进行具体的总结归纳. (教师提问,学生回答,屏幕显示下表) 当a>0时,方程axbxc0的根与函数yax2bxc的图象之间的关系如下表; 2△=b2-4ac ax+bx+c=0 (a>0) 2△>0 △=0 △<0 方程无实数根

bb24acbx1、2xx

122a2a

y=ax2+bx+c (a>0) X1

X2

x1=x2

四、数学应用. 例1（屏幕展示）如图是一个二次函数y=f(x)的图象. (1)写出这个二次函数的零点. (2)写出这个二次函数的解析式; (3)试比较f(-4)f(-1),f(0)f(-2)与0的大小关系. （一）、对于问题(1)提问学生回答. （二）、对于问题(2)先引导学生回顾二次函数解析式的几种情形,教师并板书如下: 21、一般式:f(x)=ax+bx+c (a≠0) 22、顶点式:f(x)=a(x-k)+h, (a≠0,(k,h)是顶点坐标) 3、零点式:f(X)=a(x-x1)(x-x2), (a≠0,x1、x2是函数的零点) 再让学生回答解题过程。

（三）、对于问题（3）的教学过程如下：

1、

让学生回答问题（3）

2、

要学生观察方程的两个根和-4、-1、0、2有什么关系？

观察的结果：一个根在-4与-1之间，另一根在0和2之间。

3、

学生思考：如果对于二次函数y=f（x），存在两个数m、n，有f(m)f(n)<0,是否能说这个二次函数一定有零点? 思考结果:一定.教师可结合图象和学生一起分析,也可进行一般性证明: 反证法:如果函数没有零点,则函数值恒正或恒负,这与f(m)f(n)<0矛盾.所以函数必有零点. 追问:如有,则这个二次函数的零点与m、n两数有何关系. 思考结果：二次函数必存在零点x0

，有m

4、学生思考:若x0是二次函数y=f（x）的零点,且m

教师进一步小结：（屏幕展示）一般地，二次函数y=f（x），存在两个数m、n，有f(m)f(n)<0,则这个函数一定有零点x=x0，且m

2练习1：（屏幕展示）请你用多种方法说明一元二次方程2x+3x-7=0有两个不等的实数根。

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让同学讨论回答。

可能的方法有：1、直接求根；2、判别式法；3、观察图象利用上一题的结论；4、课22本证法2；5、转化为2x=7-3x，研究y=2x和y=7-3x图象交点个数。

教师要重点说明方法3、4、5。

关于方法3：教师在黑板上作出比较精确的图形给学生观察，选择适当的四个数x1、x2、x3、x4，使函数的两个零点分别在（x1，x2）和（x3，x3）内。注意选择的方法是多种多样的。

关于方法4：使学生明白此法和方法3实质上是一样的。这里选最低点最保险。

追问：如果二次项系数小于0呢？

关于方法5：如果学生不能主动提出，教师就以问题的方式问学生：如果将方程转化2为2x=7-3x，则我们又可从何角度去探讨这一问题？再让学生思考回答。

222教师小结，方程2x+3x-7=0即为方程2x=7-3x的根，就是函数y=2x和y=7-3x图象交点的横坐标。

教师进一步小结：（屏幕展示）方程f(x)=g(x)的根即为y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标. 例2（屏幕展示）研究当m取不同值时，关于X的方程|2x+3x-7|=m的根的个数. 让学生讨论研究回答.教师用几何画板作动态演示,板书解法: 2解:由图象知:当m＜0时,函数y=|2x+3x-7|与y=m图象没有公共点,则方程无实数根. 2当m=0时,函数y=|2x+3x-7|与y=m图象有两个公共点,则方程有两个实数根. 2当0

当m=8.125时, 函数y=|2x+3x-7|与y=m图象有三个公共点, 则方程有三个实数根

2当m>8.125时,

函数y=|2x+3x-7|与y=m图象有两个公共点, 则方程有两个实数根. 练习2.（屏幕展示）判断方程x2-5=log2x的实根个数.(两个) 2练习3.（屏幕展示）已知方程x+3mx-4=0有一个在(-5,-1)内,另一根在(-1,4)内,求m的范围. 2解f(x)= x+3mx-4,则有f(-5)>0,f(-1)<0,f(4)>0,解出1

2变题1（屏幕展示）已知方程x+3mx-4=0有一个在(-5,-2)内,另一根在(-1,4)内,求m的范围.( 11) 五、回顾小结

提问：同学们，本节课你有哪些收获？还有什么疑惑？请说出来。

教师小结（屏幕演示）

221、一般地，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根就是二次函数yax2bxc(a0)的值为0时自变量x的值，也就是函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标。因此，一元二次方程ax2bxc0的根也称函数y=ax2+bx+c（a≠0）的零点。

2、一般地，二次函数y=f（x），存在两个数m、n，有f(m)f(n)<0,则这个函数一定有零点x=x0，且m

4、方程f(x)=g(x)的根即为y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标. 六、布置作业。见作业纸。

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