信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计范文

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

教学目标

知识与技能

通过例题，让学生进一步熟悉求曲线方程的步骤及常用方法（直接法、相关点法、参数法). 过程与方法

通过感受椭圆不同形式的定义，加深对该曲线的认识与理解，体会类比以及分类讨论的数学思想；培养学生的推理能力，训练学生的逻辑思维. 情感、态度、价值观

通过对课本例题的再认识，体验观察、猜想、证明的探索过程，享受探求知识的快乐与成就感，激励科学探索的勇气。

重点难点

重点：课本47页例6的教学是本节重点.

难点：对结论的观察、猜想与证明是本节难点. 教学设计

一、复习引入：（椭圆定义）

生：（在平面内）与两定点F1，F2距离之和等于常数2a(2aF1F2)的点的轨迹叫做椭圆。

教师提醒：（在平面内）为前提，PF1PF22aF1F2为核心条件

二、例题探讨

例1

已知点M(x，y)与定点F(4，0)和定直线l:x求点M的轨迹并画出简图。

425的距离的比是常数，541

解：设d是点M到直线l的距离，依题意，点M的轨迹满足集合：MF4(x4)2y24P｛M|｝，即:

25d55x4化简，得：9x225y2225

x2y2即：1

259所以，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆。

点评：轨迹与轨迹方程的区别。

1、探讨与交流：

数组一：定点F(2，0)，定直线：x29，比值：

323

2数组二：定点F(3，0)，定直线：x4，比值：填表并猜想最后一行的内容：

定点

(4,0)

(2,0)

(3,0)

(c,0)

定直线

25x4

9x

2x4

比值

4

52

3方程

x2y21

259x2y21

95x2y21

123x2y221

2aba 5

3

23

b 3

5

3

c 4

2

3

c

3

2c

aa2x

ca

b

思考：(1)观察表中各列的关系，你能猜出一般性的结论吗? (2)比值有何特殊的意义？范围是什么？

2

2、猜想与验证：

a2猜想：平面上一动点M(x，y)与定点F(c，0)和定直线l：x的距离的比ccx2y2

是常数(ac0)，则点M的轨迹方程是221，轨迹为焦点在x轴上的椭圆。aab换句话说，平面内到一定点的距离与一定直线的距离之比为大于0小于1的常数的点的轨迹是椭圆。

下面我们用几何画板来探究一下这个结论。

3、完善探究成果：直线与椭圆相离；两焦点分别对应两条准线。

由此可见，

①平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹可以是椭圆. ②平面内到一定点距离与一定直线距离之比为大于0小于1的常数的动点轨迹也是椭圆. 那么，还其它的方式得到椭圆轨迹吗？请大家思考例题2。

例2：在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，3

当P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？请画出图形。

解法1 (相关点法）：设点M(x,y)，P(x0,y0)，由题意得

xx0，yy0

2因为点P(x0,y0)在圆x2y24上，所以x02y024，

x2把xx0，y02y代入，得x4y4，即y21. 422所以点M的轨迹是个一椭圆，如图.

解法2 (参数方程法) 解：因为点P在圆x2y24上，

不妨设点P(2cos,2sin)，则D(2cos,0)，

又M是PD中点，所以M(2cos,sin)，

即x2cos，消去参数，整理可得

ysin x2y21

4故点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆。

思考：动点M满足DMkDP(kR)，讨论点M的轨迹. 解：设点设点M(x,y)，P(x0,y0)，有D(x0,0)，则

DM(xx0,y)，DP(0,y0)

由DMkDP得：xx0,yky0

又因为x02y024，所以，

当k=0时，当kxx0，此时，点P轨迹为圆被x轴所截的直径；

y0 x2y20时，方程可化为21，

44k4

当k=±l时，点P轨迹即为已知圆；

当0<|k|

当|k|>l时，点轨迹为焦点在y轴上的椭圆，如图：

结论：③对圆等比例压缩或拉伸得到的轨迹也是椭圆。

由上可知，椭圆这个优美的图形也许有着更多的几何特性等待我们去探寻，

下面我们来看例题3。

例3

设点A(-5，0)，B(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率4之积是，求点M的轨迹方程。

9解：设点M(x,y)，又A(-5，0)，B(5，0)，

所以直线AM的斜率kAM由已知得kAMkBMyy(x5)，

(x5)，同理，直线BM的斜率kBMx5x54x2y2(x5)，化简，得M的轨迹方程为1(x5).

1009259思考：将斜率之积改为m，且mR，探究动点M的轨迹。

解：设点M(x,y)，又A(-5，0)，B(5，0)，

所以kAMyy(x5)，kBM(x5)，

x5x5由已知得kAMkBMm(x5)，

yym (x5)---------（*）

即：x5x5当m=0时，y=0(x5)

5

x2y21 (x5)

当m0时，（*）式可化为2525m因此：

1°

当m=0时，轨迹为x轴除去A、B两点；

2°

当m=-l时，轨迹为以A、B为直径的圆去除A、B两点；

3°

当-l

4°

当m<-l时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆并去除A、B两点: 5°

当m>0时，轨迹是什么呢？（双曲线）

三、小结：

①平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹可以是椭圆. ②平面内到一定点的距离与不过此点的定直线的距离比为大于0小于1的常数的点的轨迹是椭圆。

③对圆等比例压缩或拉伸得到的轨迹也是椭圆

④平面上与两定点连线斜率乘积为负常数（不等于-1）的点的轨迹是椭圆。

四、总结

在探讨过程中，我们通过改变题中的部分条件，学会了观察、猜想、分析与证明，并由此来获取新的知识. 在我们的探究过程中，有些问题留给大家课后去探索，如例3中如果给出椭圆方程，你能很快说出椭圆上任一点与长轴两端点连线斜率乘积吗？还有一些悬而未决的问题，如例题1中的比值不是小于1，而是等于或大于1呢？例题3中的m如果大于0呢？动点M对应的轨迹又是什么？

五、课后作业：课本50页B组

1、第3题（必做）

点M与定点F(2，0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，求点M6

的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

2、第2题（选做）

22一动圆与圆xy6x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

（改变两定圆半径，使它们外离，当动圆与两定圆都外切时，动圆圆心的轨迹是什么？）

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