2.2.1 函数的单调性PPT及课堂实录内容

函数的简单性质——奇偶性

新沂市高级中学 张虎

【教材分析】

函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此 成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

【学情分析】

已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；

在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；

高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；

高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。 【学习目标】

1．了解函数奇偶性的含义；

2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；

3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

【学习重点】

奇偶函数的定义的理解，会判断简单函数奇偶性

【设计意图】

进一步认识函数的性质，从形与数两个方面理解掌握函数奇偶性的概念，能准确地判断所给函数的奇偶性；感受函数奇偶性概念的形成过程，提高自己观察、归纳、抽象的能力。从生活中的对称联想到数学中的对称，通过师生共同探讨、研究，从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理，形成严谨、认真、科学的探究精神．

【学习引导】

对称是一种自然美，生活中到处都是以对称美呈现的事物？请您举例说明。

在我们已经学习过的函数中，也出现很多函数图象是对称的函数，

请您举例：图象关于y轴对称的函数有哪些，图象关于原点对称的函数有哪些? 【设计意图】

由生活中的对称到数学中的对称，引入课题，拉近数学与生活的距离，让学

生感受到数学来源于生活. 问题1：画出下列函数图像

（1）f(x)x22；（2）g(x)1

x问题2：说出上述函数的单调性

问题3：这个两个函数图像有怎样的对称性？

问题4：分别求出x = ±1，

±2，±a 函数的值有何变化？

思考1：如何利用数学语言描述这一几何性质呢？

【设计意图】

（学生根据图形和现有结论激烈讨论，情绪激动，思维活跃，教师用微笑对他们鼓励，并掌控讨论方向和引导讨论结果。）

由特殊到一般，从形与数上复习巩固函数的单调性的定义，类比函数单调性的定义，从图形语言转变到数学语言，并用数学语言概括出函数奇偶性的定义. 【数学建构】

已知函数f(x)的定义域为A，

若对任意的xA

，都有f(－x)= －f(x)，则称函数f(x)为奇函数．

如果对任意的xA

，都有f(－x)= f(x)，则称函数f(x)为偶函数．

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．反之则说函数不具有奇偶性．

问题5：奇函数的图像具有怎样的特征？

问题6：偶函数的图像具有怎样的特征？

【设计意图】

回归数学本质，从定义回归到图形，从形上刻画出

奇偶函数的特征——对称性

问题7：这个图像对应的函数是奇函数吗？

问题8：函数f(x)x22,x(2,2]是偶函数吗？

【设计意图】

抓住本质，结合本质进行应用，回到特殊图形与特殊函数，抓住奇偶函数的图像本质，即对称性，从形上理解奇偶函数的定义. 思考2：如果我们要研究一个函数是否为奇函数，或者是偶函数，首先要考虑什么？

思考3：通过上述问题，能说任何一个函数都具有奇偶性？

【设计意图】

由特殊到一般，从特殊的图形与函数上理解函数的奇偶性的定义，研究奇偶性，先研究定义域，先有定义域关于原点对称，再有函数才可能具有奇偶性. 问题9：从奇偶性的角度，我们可以对函数进行怎样分类呢？是否可以举例说明？

问题10：如何判断函数f(x)＝x3＋5x的奇偶性．

总结:判断函数奇偶性的步骤

【设计意图】

学生交流，讨论，总结，补充，完成函数的奇偶性的判断及步骤：一看二找三判断，完成过程书写及要求，总结出简单的应用方法与思路. 追问:对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确：

(1)若f(2)＝f(－2)，则f(x)是偶函数

(2)若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数

(3)若f(2)＝f(－2)，则f(x)不是奇函数

问题11：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：

(1)f(x)＝x3－x；

(2)f(x)＝2x；

(3)f(x)＝2|x|； (4)f(x)＝x－1

【设计意图】

函数奇偶性的定义的简单应用，理解函数的奇偶性具有广泛性和一般性. 成立所有与不成立特殊的判断方法. 问题12：已知奇函数f(x)在y轴右边的图象如图所示，请你画出左边的图象．

追问：如果f(x)是偶函数呢？

【设计意图】

函数奇偶性的定义的本质，即对称性，定义回归本质应用，从形上进一步理解函数的奇偶性. 问题13：设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x[0，5]时，

f(x)的图象如图所示，试写出不等式f(x)＜0的解集．

追问：如果f(x)是偶函数呢？

【设计意图】

小组合作探究，自学、助学、互学，进一步加强函数的奇偶性的应用，理解函数的奇偶性，抓住函数奇偶性的定义的核心，数形结合，从“数”与“形”上理解并应用函数的奇偶性.

问题14：下面两个图象也具有对称性，所对应的函数具有奇偶性吗？

追问：下面两幅呢？

【小结反思】

【当堂检测】

判断下列函数的奇偶性：

【课后练习】

判断下列函数的奇偶性：

(1) f(x) = - x2 -1

(2) f(x) = 2 x (3) f(x) = 2 |x| (4) f(x) = (x-1) 2

【教学体会】

1.本节课自始至终由一个个层层递进的问题来引导学生学习，使学生的思维一直处于积极的思考状态，使学生经历了知识的形成过程，让学生们能够构建

更加完善的数学认知结构。在教学过程中，综合了启发探究、合作学习、接受式等多种教学方式，营造了良好的学习环境。

“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题教学法，变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人。

2.重视“数学过程”是有效探究的主轴和抓手：

有效地数学活动不能单纯地依赖模仿和记忆，而应该让学生动手实践、自主探究、合作交流。在函数的奇偶性概念教学实践中，最让学生感到困惑的是如何突破常量到变量的转化，本节课让学生在动手操作、自主探索、合作交流中从图象出发，引发学生对偶函数图象上“任一点”的特征把握准确，让学生在感知、概括、应用的基础上完成知识迁移、归纳总结、误区矫正。数学经历中的探究才是有效探究。

3.提升学生数学概括水平是实效探究的目的和方向：

概括水平能够反映思维活动的速度、广度、深度和灵活迁移的程度，提高学生的数学概括水平就是发展学生的数学思维能力。因此，判断课堂探究究竟是否实效就看是否发展了学生的数学概括能力，设立探究问题的原则为：将培养和提高学生的数学概括能力放在在基本和最正要的位置。而数学概念作为数学的“思维细胞”，是学生数学学习活动中最先获得的成果，在知识链上起奠基作用，概念的形成过程也就是数学能力的形成过程。