习题2.2板书设计及意图

对数与对数函数

导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．

知识梳理

1、指数式与对数式的互化：abNlogaNb．alogaNN

2、对数的换底公式 logmN (a0,且a1,m0,且m1,

N0). logaNlogman推论

logambnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,

N0). m1logxa3、对 loganMlogaM

数恒等式：axn1 logab logablogbclogac

logbam loganbmlogab

loga1＝____；

nlogaaN＝____；

logaa＝____.

4．对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)logaMlogaN; MlogaMlogaN; (2) logaN(3)logaMnnlogaM(nR). 5、对数函数的概念、图象和性质：

①ylogax(a0且a1)

的定义域为R，值域为R；

②logab的符号规律：同范围时值为正，异范围时值为负。

③ylogax(a0且a1)的单调性：a1时，在0,单增，1a0时，在0,单减。

④ylogax(a0且a1)的图象特征：

a1时，图象像一撇，过了（1， 0）点，在x轴上方a越大越靠近x轴；

1a0时，图象像一捺，过了（1， 0）点，在x轴上方a越小越靠近x轴。

6．指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数；它们的图象关于直线y＝x对称．

1

7、对数数函数

对数数函数ylogaxa0,a1

x0,

yR

过定点(1,0)

减函数

x(0,1)时，y(0,)x(1,)时，y(,0)

增函数

x(0,1)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)

ab

ab

考点突破

对数式的化简与求值

例

计算：(1)

（3）lg5＋lg20的值是________．

lg 2＋lg 5－lg 8； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．

lg 50－lg 402

3－5416(4)4＋log3＋log3＝________. 4581

对数运算的步骤：

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

1.(1)计算：log327＋lg 25＋lg 4＋

（2）若a＝log43，则2a＋2-a＝________．

(3)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.

含对数式的大小比较

例

(1)比较下列各组数的大小．

26①log3与log5； ②log1.10.7与log1.20.7. 35

111(2)

已知logb

222

用对数函数的性质比较大小

(1)同底数的两个对数值的大小比较

例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，

其中a>0且a≠1. 43－π41－291＋－＋2；

24①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. ②若0logag(x)⇔0

3

(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0

(1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则(

) A．a>b>c

B．a>c>b C．b>a>c

D．b>c>a

（2）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(

) A．c＞b＞a B．b＞c＞a

C．a＞c＞b D．a＞b＞c

1－0.8（3）已知a＝2，b＝，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(

) 21.2A．c

C．b

反思总结：对数值大小比较的主要方法

(1)化同底数后利用函数的单调性；

(2)化同真数后利用图象比较；

(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．

考点三

对数函数的图象及应用

例 (1)函数y＝lg 1的大致图象为(

) |x＋1|

（2）已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(其中a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则f(x)，g(x)在同一坐标系内的大致图象是(

)

应用对数函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．

4

(2)一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．

1.(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(

)

2.函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为____________，单调递增区间为________．

3.已知函数f(x)＝e|lnx|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(

)

考点四

对数函数的性质及应用

例1.已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

2. 已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，

5

(1)求f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性．

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：

(1)确定定义域；

(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；

(3)分别确定这两个函数的单调区间；

(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．

1.已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．

2.已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

考点五 常见对数方程式或对数不等式的解法

例 1.函数f(x)＝1的定义域为(

) （log2x）2－16

1A.0， B．(2，＋∞) 211C. 0，∪(2，＋∞) D. 0，∪[2，＋∞) 22

2. 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，a≠1)．解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)；

例、判断方程loga(x1)x10的解的个数；

(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验f(x)0,f(x)0,根．对于logaf(x)>logag(x)等价于01时，g(x)0,

f(x)g(x);f(x)g(x).(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解．

变式训练：已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求使f(x)>0的x的解集．

1变式训练：方程()xlog3x解的个数为（ ）

3A．0 B．1 C．2 D．3 变式训练：若函数f(x)log2ax1的图象的对称轴为x2，非零实数a的值是 ；

考点六

解决含参数的对数问题

例1. 若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(

)．

A．0

12.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤13成立，试求a的取值范围．

7

B．0

D．a≥2

解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或0

变式训练：1.若函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为( )

2A．(0,1)∪(1,3) C．(0,1)∪(1,23)

2.对于函数f(x)log1(ax22x4)，解答下列问题：

2a

B．(1,3)

D．(1,23) （1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；

3.若函数fxloga(xa4)（a0且a1）的值域为R，则实数a的取值范x围是________________。

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