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《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计

甘肃省张掖市实验中学

雒淑英

一、教材及学情分析

本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》（人民教育出版社中学数学室编著）第二册（上）第八章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。

用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第七章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。

二、教学目标分析

按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：

1．知识与技能目标：

①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。

2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识

3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识

②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风

④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美

⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心

三、重、难点

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想

难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用

关键：含有两个根式的等式化简

四、教法分析

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生实验——意义建构——形成理论——知识应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．

五、教学过程设计

（一）创设情境——提出问题

用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．看来，椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线．圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆．将细绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可．将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？

设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望

（二）学生实验——体验数学

1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆

2．展示学生成果

3．动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想

4．展示椭圆实际应用的幻灯片

5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？——椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？——椭圆的标准方程．这就是我们这节课的重点内容．

设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题

（三）意义建构——感知数学

椭圆定义的初步生成

学生每2人一组，合作探究，教师巡视指导．

请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．

（四）形成理论——建立数学

1．椭圆定义的完善

提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？

引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数>数=或常数<,情况会发生什么变化？

”的限制。继续深化问题：若常

应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=线段；当常数<时，与两个定点时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．

请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．

设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风

2．椭圆的标准方程

(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性

(2)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程

①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征

以直线为距离之和为②动点为，则．

满足的几何约束条件:

轴，以线段的垂直平分线为．设轴，建立平面直角坐标系．设焦距与点的为椭圆上任意一点，点③坐标化：

④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

预案一：移项后两次平方法

分析的几何含义，令

得到焦点在

轴上的椭圆的标准方程为

预案二：

用等差数列法：

设

得4cx=4at，即t=

将t=代入式得

③

将③式两边平方得出结论。以下同预案一

预案三：三角换元法：

设得即

即

代入式得

以下同预案一

设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美

(3)建立焦点在要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程

轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？轴翻此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线即可转化成图(2)，需将轴、折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转为轴、轴或轴、轴．

轴的名称换

（1） （2）

焦点在轴上的椭圆的标准方程为

设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动

(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点

与项分母的大小即可．若项分母大，区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然．

联系：它们都是二元二次方程，共同形式为

两种情况中都有

（五）数学应用——巩固新知

例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆

（1）到点（2）到点（3）到点（4）到点和点和点和点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）

的距离之和为4的点的轨迹；（不是）

的距离之和为6的点的轨迹；（是）

的距离之和为4的点的轨迹；（不是）

探究一：已知椭圆的方程为：

，则a＝____，b＝____，c＝___，

焦点坐标为：___ 、___，焦距等于____。如果曲线上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于______。

设计意图：巩固椭圆定义

例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．

，椭圆上一点M到

设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程

变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．

，椭圆上一点M到

设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程

变式二：已知椭圆的两个焦点分别是该椭圆的标准方程．

，椭圆经过点，求

设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用

（六）回顾反思——归纳提炼

1．一个知识点：椭圆的定义及其标准方程

2．两种数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程

3．三种数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想

设计意图：在总结时采用“一个知识点、两种方法、三种思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。

（七）课后作业，巩固提高

1．必做题：课本106页习题8．1 1(2)，2，3（1），（2）

2．思考题：

(1)在化简椭圆方程的过程中有成立，该式有什么几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？

设计意图：为引入椭圆焦半径公式作适当铺垫，为学习椭圆的几何性质做铺垫，也体现数学知识之间的联系，培养学生养成深入思考的习惯．