信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教案设计范例

2.2.1椭圆及其标准方程（1）

一、教材分析

本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识。

从知识上讲，本节课是在数学必修二中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上，在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路。因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点。

二、学生学情分析

学生已经学习了圆的概念及其方程，初步认识了解析几何课程的特征，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想；学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生有建立圆的概念和方程的经历。

学生容易通过几何图形发现轨迹上的点的特征，但学生不容易形成概念体系并用精准的语言描述。在概括椭圆的定义时，需要教师作适当的启发，然后再用数学语言进行精确的描述。推导椭圆标准方程时会遇到两个困难，首先是坐标系如何建立才能使椭圆方程更简单，需要学生回顾建系原则

，根据椭圆的对称性建立直角坐标系。其次是如何化简含有两个根号的方程，学生已有的知识与能力不能完全胜任独立解决的要求，需要教师作适当的讲解。本节课采用启发探究式的教学方式。在启发探究式教学过程中，以问题引导学生的思维活动，教学中结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

三、教学目标

1.知识与技能：1.通过用细绳画椭圆的实验，类比圆的定义，能用自己的语言叙述椭圆的定义

2.能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程

3.能简单判断椭圆焦点的位置

4.会运用定义和待定系数法求椭圆的标准方程

2.过程与方法：通过自我探究、实验、数学思想(类比、坐标法、数形结合)的运用等，从而提高实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法；在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学习数学的兴趣，培养勇于探索，勇于创新的精神。

四、教学重点难点

重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想

难点：椭圆标准方程的建立和推导化简

五、教学过程

1.创设情境、引出新知

学生观察生活中椭圆的例子，引出本节课题《2.2.1椭圆及其标准方程（1）》

回顾如何画圆，思考圆上的点满足什么条件？引出问题：如何画椭圆，椭圆上的点都满足什么条件？

2．尝试实验，探究定义

请学生拿出事先准备好的自制教具：硬纸、细绳、图钉、铅笔，同桌同学一起合作按要求做实验。请两位同学上台给大家演示实验过程，在实验过程中引导学生思考：移动的笔尖（动点）满足什么条件？

回顾圆的定义，类比圆的定义，引导学生用自己的语言给出椭圆的定义。教师总结完善椭圆定义，强调动点到两定点距离和为常数，常数大于|F1F2|，并引导学生思考：常数等于或小于|F1F2|时形成什么轨迹图形？

3．探究建系，推导方程

引导学生思考回答以下问题：

（1）求动点轨迹方程第一步是什么？

（2）建系原则是什么？如何建系才能使方程更加简单？

（3）如何建系才能使椭圆的方程简单？

以经过椭圆两焦点的直线为x轴，以两个焦点连线的中点为原点，建立直角坐标系。设出动点的坐标，写出动点满足的条件，把动点条件坐标化。引导学生x2y21

。引导学生思考如何化简含有两个根号的方程，化简得到方程

222aac在椭圆上找出a,c,a2c2表示的线段，理解引入ba2c2的必要性及几何意义，体会解析几何的数形结合思想。最后得到椭圆的标准方程x2y221(ab0)

2ab4.拓展引申，对比分析

提出问题：我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如果椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程是怎样的呢？

学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在yy2x2轴上的椭圆的标准方程：221

（a＞0,b＞0）。教师从方程推导过程和图ab像变换给学生展示坐标轴交换缘由，加深学生的理解。

接下来，让学生对两种方程进行对比分析，说出相同点和不同点，强化对椭圆两种标准方程的理解。

5.当堂训练，巩固知识

（1）写出下列椭圆方程的a,b,c的值以及焦点坐标

x2y212516x2y2 1

1441693x22y26学生上台演算，总结考察知识点：1.a2c2b2，2.如何判断焦点坐标

53（2）已知椭圆的两个焦点坐标分别为F1(2,0),F2(2,0)，并且经过点M(,)，22求它的标准方程。

教师分析引导学生给出两种解答方法：定义法，待定系数法，两位学生上台用不同方法解答。

6.归纳小结

定义

图形

不

同

点

标准方程

焦点坐标

a,b,c的

相

同

点

关系

焦点位置的判断

六、教学反思