习题2.2特级教师教学实录

第

1 页

共

6 页

课时跟踪检测（十）

对数与对数函数

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

1．函数y＝log32x－1＋1的定义域是(

) A．[1,2]

2C.3，＋∞

B．[1,2) 2D.3，＋∞

log32x－1＋1≥0，解析：选C

由

2x－1＞0，

log2x－1≥log3，即1x＞2，331

2解得x≥. 32．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(

) A．log2x

1C．logx

21B.x

2D．2x2

－解析：选A

由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 3．如果log1x

) 22A．y

C．1

B．x

解析：选D

∵log1xy>1. 2224．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(

)

解析：选A

由函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga|x|的图象大致是A. 5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(

)

第

2 页

共

6 页

A．f(a＋1)>f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)

B．f(a＋1)

解析：选A

由已知得0f(2)．

1－x16．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝(

) 21＋xA．2

1C.

2B．－2 1D．－

21－x解析：选D

∵f(x)＝lg的定义域为－1

1＋x1＋x1－x∴f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，

1－x1＋x1∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－. 22×35＝________. 7．lg 2＋lg 5＋20＋351313解析：原式＝lg10＋1＋5×5＝＋5＝. 22答案：13

223138．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则logba＝________. 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．

则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，

且f(0)＝loga(0＋b)＝1，

b－1＝1，b＝2，所以即所以logba＝1. b＝a，a＝2.

答案：1 9．(2018·安徽两校阶段性测试)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝________. 解析：因为log49＝log23＞0，又f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x，所以f(log49)＝f(log23)＝－21答案：－

3110．设函数f(x)满足f(x)＝1＋flog2x，则f(2)＝

2·－log23＝－2log2131＝－. 3

第

3 页

共

6 页

________. 1解析：因为f(x)＝1＋flog2x，

2·111·1＝1，

所以f＝1＋flog，得f222222113所以f(x)＝1＋log2x，所以f(2)＝1＋log22＝. 2223答案：

2B级——中档题目练通抓牢

1．已知a＝log23＋log23，b＝log227－log233，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(

) A．a＝b＜c

C．a＜b＜c

B．a＝b＞c

D．a＞b＞c

3解析：选B

因为a＝log23＋log23＝log233＝log23＞1，b＝log227－log233＝2log233＝a，c＝log32＜log33＝1，

所以a＝b>c.

2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(

) A．a>1，c>1

C．01

B．a>1,0

由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1. 31x2＋x(a＞0，且a≠1)在区间，＋∞内恒有f(x)＞0，则f(x)3．若函数f(x)＝loga22的单调递增区间为(

) A．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)

B．(2，＋∞) 1，＋∞

D.2133，＋∞时，M∈解析：选A

令M＝x2＋x，则M>0，所以x＞0或x＜－.当x∈22233(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由24复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

114．设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m＝________. 解析：因为2a＝5b＝m，

第

4 页

共

6 页

所以a＝log2m，b＝log5m，

1111所以a＋b＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝10. log2mlog5m答案：10 logx，x＞0，25．设函数f(x)＝log－x，x＜0，12________________．

解析：由f(a)＞f(－a)得

a＞0，a＜0，log2a＞log1a或log1－a＞log2－a，

22a＞0，a＜0，即或

log2a＞－log2a－log2－a＞log2－a.

若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是

解得a＞1或－1＜a＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 6．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域；

30，上的最大值．

(2)求f(x)在区间2解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，

∴a＝2. 1＋x＞0，由得－1＜x＜3，

3－x＞0，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

30，上的最大值是f(1)＝log24＝2. 故函数f(x)在27．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1. (1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；

(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．

解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥

第

5 页

共

6 页

－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，

112x－2＋，

∵g(x)＝－22x＋2x＝－2411∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，

2411，＋∞. ∴t≥，故t的取值范围为44(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，

2mmfm＝m，a＋t＝a，∴即2n问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等nfn＝n，a＋t＝a，

的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两u1＋u2＞0，u2＞0，个不相等的实根，即u1·Δ＞0，10，. ∴t的取值范围为4C级——重难题目自主选做

1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f(x)＝(ex－ex)x，f(log5x)＋f(log1x)≤2f(1)，则x－

t＞0，1即1得0＜t＜. 4t＜4，5的取值范围是(

) 1A.5，1

1C.5，5

解析：选C

∵f(x)＝(ex－ex)x，

－B．[1,5]

1－∞，∪[5，＋∞) D.5∴f(－x)＝－x(ex－ex)＝(ex－ex)x＝f(x)，

－－∴函数f(x)是偶函数．

∵f′(x)＝(ex－ex)＋x(ex＋ex)＞0在(0，＋∞)上恒成立．

－－∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∵f(log5x)＋f(log1x)≤2f(1)，

5∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，

1∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C. 52．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，n若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则m＝________.

第

6 页

共

6 页

－log3x，0＜x＜1，解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)log3x，x≥1，

0＜m＜1，上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得n＞1，log3n＝－log3m，

0＜m＜1，则n＞1，mn＝1，

所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则n1f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9. m3答案：9