信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆第二课时教学实录

曲线与方程

——基于线段垂直平分线的推广

（人教A版本选修2-1）

惠州市东江高级中学 冯祖琨

一．教学内容分析：

数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析之后，进行适当变化，使得到的新命题为真。推广是数学学习和研究的基本方法，也是人们发现数学规律的重要工具。

本教学片段是在学生学习了曲线方程的定义和求一般曲线方程的基本方法的基础上，基于本节例题—线段垂直平分线的探究推广，得到新的曲线以及新的定义。通过这一过程加深学生对前面所学知识的理解，同时提高学生的自主探索能力和思维水平，并对圆锥曲线有一个初步的认识。

二．教学目标：

1.知识与技能：使学生进一步理解曲线方程的定义，并通过对问题的推广，自主构造一些新曲线，进而认清一些曲线之间的内在关系，为后面学习三种圆锥曲线打好基础。

2.过程与方法：通过引导学生在主动参与构造曲线的探究活动中去体验、感受、建构知识，提升数学思维水平，提高分析解决问题的能力，转变学习方式，学会学习。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学推广的乐趣与魅力，体验创造的激情，培养学生勇于提出问题的习惯，建立严谨的科学态度。

三．教学策略：

在设定教学目标后基于对教学内容和学生情况的分析，为解决问题采用的教学策略：启发探究与学生自主探究相结合，勇于探索的学习精神和合作探究的学习方式；追求信息技术与数学课程有机整合的高效课堂。

四．教学流程图

对研究过的问题再分析

推广提出新的问题

解决新问题

分析问题本质

继续推广

探究分析

五.教学过程：

教学

备教学内容

教师活动

学生活动

步注

骤

对师：通过对线段垂直研平分线进行再分析。

究提问：当动点P到两学生思考：当过对线段垂直平分线定义进PA(0,且1)

时，动点的行再分析，并引发探究推个定点A,B的距离不

PB问广。

相等时，动点的轨迹P的轨迹是什么？

题还是直线吗？

推

广

1

学生通过图形计算器做出轨迹发现不是直线而是圆：

学生实际探究操作

学生通过图形计算器自主探究：当PA(0,且1)

PB时，动点P的轨迹。

师：引导学生利用图形计算器探究动点P的轨迹，并利用图形计数器捕获学生的探究成果。

学学生总结：一个动点到两个定点师：在上述探究的基生距离之比为定值时，其轨迹为圆础上，我们能否给线总对线段垂直平分线和圆下或直线.当且仅当比值为1时，其段垂直平分线和圆下

结一个新定义。

轨迹为以两个定点为端点的线段一个新的定义？

猜的垂直平分线.

想

猜想证明上述猜想。

证

明

师：当然我们得到的这个结论这是我们的一个猜想，能否对以上猜想进行严格的证明呢？ 引导学生用坐标法进行严格证明，同时利用图形计算器的计算功能对方程式进行化简并分析。

学生：利用坐标法，通过建系、设点、找关系、列方程。并借助图形计算器对方程进行化简分析：

2

分析分析探究过程，回归曲线问定义的本质，并提出推广题方向。

本质

师：当一个动点和两个定点距离之比为常数时，动点的轨迹为圆(或直线).能否把这个问题继续推广，进而得到新的曲线呢？

引导学生分析探究过程，回归曲线定义的本质，并提出推广的方向。

学生：分析探究过程，对曲线的定义有了进一步的了解。提出探究推广新方向：探究动点到两定点距离之和、差、与积为常数的动点的轨迹方程。

探究：

1.

动点到两个定点距离之和为常数的动点的轨迹；

推2.

动点到两个定点距离广之差为常数的动点的探轨迹；

究

（对椭圆与双曲线的初步认识）

3.

动点到两个定点距离之积为常数的动点的轨迹。

师：提出问题：

问题1：求到两定点A与B的距离之和为常数的动点P的轨迹。

问题2：求到两定点A与B的距离之差为常数的动点P的轨迹。

问题3：求到两定点A与B的距离之积为常数的动点P的轨迹。

3

学生自主探究

师：对问题1-问题3利用坐标法求出动点P的轨迹方程，并结对问题1-问题3的深入探合轨迹方程对探究得学生：课后探究。

究。

到的图形进行再分析。

4 课后探究