信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆课件配套优秀

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

教学目标

(1)知识与技能目标：巩固椭圆的定义及其标准方程。

(2)过程与方法:能根据题目条件猜想点的轨迹，能用多个特殊点“动态”的估计图形，加深对点的轨迹的理解；掌握用相关点法求解点的轨迹方程的步骤。

(3)情感、态度与价值观:通过车标的引入，爱国歌曲的播放，培养学生的爱国主义精神和复兴中华民族的责任感; 通过几何画板对点轨迹的演示，培养学生的探究能力，提高学生分析、概括等逻辑思维能力，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的基本数学素养．

学情分析 十一班学生基础差,虽然学生学习了曲线与方程以及椭圆的定义,但对于动点轨迹仍然很模糊、很抽象,通过本节课的学习,可以化抽象为具体,通过“动与静”的融合，增强学生对“动点轨迹”形成的感性认识。

教学重难点: 将已知条件转化为图形语言；

将多个“静”点转化为动点；

将所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去。

学习过程

一、学前准备（车标引入）

问题一：如何理解曲线与方程的关系？

一般的，在直角坐标系中，若某曲线C上的点与一个二元方程f(x)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 则称这个方程为曲线的方程，称曲线为方程的曲线. 问题二：椭圆的定义？

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0 问题三：椭圆的标准方程

x2y2当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为

2＋2＝1(a>b>0)

ab

y2x2当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为

2＋2＝1(a>b>0)

ab

二、新课导学

例1，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP

,垂足为

P,线段PP的中点M的轨迹是什么？为什么？

【解析】设点M的坐标为(x,y),点P的坐标(

xx0,y'''x,y00

),则

y02

.

2因为点P在圆上,所以x0y204

①

把x0x,y02y代入方程①, 得4x2y21

.

所以点M的轨迹是椭圆. 设计意图：通过圆与椭圆的转化，巩固椭圆的标准方程及相关点法，体会几何画板研究点的轨迹“动与静”的融合，引导学生平时学习就可以通过此法去探求点的轨迹.

◆探究拓展

25

例2 已知点M（x，y）与定点F（4,0）的距离和它到直线l：x=

的距离的44比是常数

，求点M的轨迹。

5

25

解：设d是点M到直线l：x=

的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合

4

|MF|4PM|

d5

由此可得

x4

2y225x445

2将上式两边平方，并化简，得9x25y2252

9即25

所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别是10、6的椭圆

设计意图：通过例一的讲解与几何画板的演示，进一步利用动静结合的思想去处理问题，先让学生动手处理可以增强学生的实际操作能力和验证例一讲解的效果。

◆大展宏图

已知圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，点P是圆上的动点，若线段AP的中垂线l交OP于Q,当P在圆上运动时，动点Q的轨迹是什么？

解：联结QA,由中垂线性质得|QA|=|QP| 所以|QO| +|QA|= |QO| +|QP|=|OP|=r 又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP| 故由椭圆定义知，点Q的轨迹是

以O,A为两个焦点，长轴长为r的椭圆。

设计意图：通过简单例子课堂练习与交流，增强学生的学习兴趣，并培养学生的合作交流能力，加深对点的轨迹的理解：符合某条件的所有点组成的图形叫做符合这个条件的点的轨迹。

◆课后思考题

x2y21已知圆

xy224与圆x2y29,

以圆心为射线的端点作射线分别与两圆相交于C,B两点，过C，B点分别作y，x轴的垂线相交于点M，探求M的轨迹。

解：设点M的坐标是（x，y）,

是以Ox为始边，OA为终边的正角，取



为参数，那么

xONOACOS，yNMOBsin

即

sx3coy2sin



将

①消去参数可得

①

x29y421

所以点M的轨迹是椭圆

设计意图：作为课后思考兼顾不同层次的学生。

◆小结

类题通法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．

(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．

◆作业布置

作业：50页1题

◆课后反思

首先，学生上讲台讲解没写过程，老师点评内容没有说学生板书问题，这不便于纠正学生的作答过程的错误，其次，上课前手机忘记设置为静音。