对顶角、余角和补角优秀教案说课稿

第二章

平行线与相交线

2.1

两条直线的位置关系

一、学习目标：

1、在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。

2、（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。

（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。

3、在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。

二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。

三、学习难点：学生探索等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。

四、学习设计：

（一）预习准备

（1）预习书38、39页

（2）回顾：①什么是直角？②什么是平角？

（3）预习作业：

①在一副三角板中,每块都有一个角是90°,那么其余两个角的和是多少? ②已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________ ③已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________ （二）学习过程：

1、创设情境，引入课题

⑴请同学们拿出事先准备好的直角纸板，用剪刀把直角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系？

⑵再拿出平角纸板并用剪刀把平角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系? ⑶请同学们分别给这两个角命名——引入课题

2、展示新知：

⑴在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是90o

。一般情况下，o如果两个角的和等于90

（直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．

同样，如果两个角的和等于180o (平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

⑵符号语言：若∠1+∠2= 90o

，

那么∠1与∠2互余。

1 1 2 2 第

1 页

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21 页

若∠3+∠4=180o

，

那么∠3与∠4互补。

4

3 4

3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；

（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系,可以把剪下的

∠1、∠2 、∠3、∠4摆放出各种不同位置。

3 1

4 3

4

2

（3）区分互为补角和互为余角，区别在于两角的和是180°还是90°。

4、应用新知体验成功

⑴若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=__________ ⑵若∠1= 90o—∠2，则∠1+∠2=__________ ⑶60O32’的补角是_______，余角是_______ (一个角的余角一定比这个角的补角小吗？) ⑷30O角的余角的补角是__________ ⑸填表：



30O

70O

一个角

这个角o

90-∠

的余角

这个角180o-∠

的补角

⑹若一个角是它余角的4倍，求这个角。

变式训练：（1）一个角的补角是它的3倍，求这个角。

3

第

2 页

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21 页

（1）

一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角。

5、探讨余角与补角的性质

例1 如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

2 1 3 4

已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

余角与补角的性质：

______________________________________________________。

巩固练习

D E (7)如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠F 1 2 2．图中哪些角互为余角?哪些角互为补角? ∠ADC与∠BDC有什么关系?为什么? ∠ADF与∠BDE有什么关系?为什么?

A B (8)如图，C是AB上的一点，CD是∠ACBD C F 的平分线，则

E ①

图中互余的角是______________

互B A 补的角是__________，相等的角是_____________ ②在图中再添一条射线CF，使∠FCE=Rt∠，则图中∠FCD余角是____________

∠ACF的余角是__________，∠FCB的补角是__________，理由是____________________________________ (9)已知：如图∠AOB =∠COD= Rt∠，问：图中有几对相等的角，并说明理由

B

D

C

O A对顶角的概念

______________________________________________________

对顶角相等的性质______________________________________________________。

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六、课堂练习：

1．已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．

2．已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）

A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角

3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，•求∠BOD的度数．

4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=•120°。求∠BOD，∠AOE的度数．

拓展训练：

1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．

2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．

第

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ADBOEC

3．（课外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．

4．（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（•假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．

七、小结：

数量关系

对应图形关系

1 2 互余

1 2

3

互补

4

3 4 对顶角

性质

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5 页

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2.2

探索直线平行的条件（1）

一、学习目标：

1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。

2、会认由三线八角所成的同位角。

3、掌握平行线公理及平行线的传递性。

4、掌握直线平行的条件并能解决一些问题

二、学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”

EG三、学习难点：判断两直线平行的说理过程

四、学习设计：

（一）课前准备

（1）预习书44-48页

（2）

思考①什么叫同位角、内错角、同旁内角？②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？

（3）预习作业

A142CFH3DB如图所示，①1与2是

角；它们是由直线

和直线

，被直线

所截得的；②1与4是

角；它们是由直线

和直线

，被直线

所截得的；③3与4是

角；它们是由直线

和直线

，被直线

所截得的。

（二）学习过程

1、两直线被第三直线所截，可形成的角有

，

，

。

同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角”）如下表：

基本图角的名称

位置特征

图形结构特征

形

12

34

56

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6 页

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例1如图是同位角关系的两角是

，是互补关系的两角是

，是对顶角的是

。

13

42

2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角

，那么这两直线

。

简称：

（公理）

如图，可表述为：

E∵

(

) 1AB

2∴

(

) CD

F例2

如图

（1）

12

（垂直的定义）

a

∴

∥

（同位角相等，两直线平行）

（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律

变式训练：如图所示

1、12（已知）

a

b

∴

∥

（

）

2、23（已知）

21c

3d∴

∥

（

）

12ab,ca(已知)

bc例3、如图，已知1DF平行吗？为什么？

65,211500，直线BC与C2FE1ABD第

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变式训练：如图，已知170,211000，试问a与b平行吗？说说你的理由。

ca

2

3b

1

1、

平行线公理：过直线外一点有

条直线与这条直线平行。

2、

平行线的传递性：

几何语言：

拓展：

如图，已知12，问再添加什么条件可使AB∥CD？试说明理由。

C

FAE

M12DN

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8 页

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B

2.2

探索直线平行的条件（2）

一、学习目标：

1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。

3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

二、学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

三、学习难点：

会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习书47-48页

（2）回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？②同位角相等，两直线平行。

（3）预习作业：

AD如图所示：

（1）如果1D，那么

∥

理由是

1EBC（2）如果1B，那么

∥

理由是

（3）如果AB1800，那么

∥

理由是

（4）如果AD1800，那么

∥

理由是

（二）新课学习：

AB平行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果1内错角

，那么这两直线

。

简称：

2CD如图，可表述为：

∵

(

)

∴

（

) A平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果B1同旁内角

，那么这两直线

。

简称：

2CD如图，可表述为：

∵

(

) A∴

（

) C12例1、如右图，∵∠1＝∠2

DE3

∴

∥

，

4第

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FBG

∵∠2＝

∴

∥

，（同位角相等，两直线平行）

∵∠3＋∠4＝180°

∴

∥

，

∴AC∥FG，

变式训练：如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？•为什么？

例2、如图，已知B40,114000，那么ABAB∥CD成立吗？请说明理由。

1CD变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？

解：为∠1+∠2=180°（ ）

所以AB∥_______（ ）

又因为∠1=∠3（ ）

所以∠2+∠________=180°（ ）

所以EF∥GH（ ）

拓展：1、如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，•且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．

解：AB∥CD 理由如下：

∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（ ）

∴∠1= ,∠2＝ （ ）

∵∠1+∠2=90º( ) ∴∠ABD+∠CDB＝ ＝ ＝180º。

∴CD∥AB（ ）

2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。

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AODBC

（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180º；

（3）∠CAD＝∠ACB。

当堂测评：

1．如图1所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．

2．（2008，齐齐哈尔市）如图2所示，请你写一个适当的条_______， •使AD∥BC．

件

图2 图3 图4 3．如图3所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____．

5．如图5所示AE∥BD，下列说法不正确的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠A=∠CBD C．∠BDE+∠DEA=180° D．∠3=∠4 图5 图6 图7 6．如图6所示，能说明AB∥DE的有（ ）

①∠1=∠D；

②∠CFB+∠D=180°；

③∠B=∠D；

④∠BFD=∠D．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7.如图7所示，点E在AD•的延长线上，•下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）

A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5

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2.3 平行线的性质

一、学习目标

1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

2、经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题。

二、学习重点

平行线的特征的探索

三、学习难点

运用平行线的特征进行有条理的分析、表达

E四、学习过程

C（一）预习准备

B（1）预习书50-53页

（2）回顾：平行线有哪些判定方法？

DA（3）预习作业

1、如图，已知BE是AB的延长线，并且AD∥BC,AB∥DC，若C1300，则CBEA 度。

2、如图，当 ∥ 时，DACBCA；

CD当 ∥ 时，CABDCA；

（二）学习过程

BA例1

如图，已知AD∥BE，AC∥DE，12，可推（1）34；（2）AB∥CD。填出推理理由。

证明：（1）∵AD∥BE（ ）

DA∴35（ ）

13又∵AC∥DE（

）

4∴54（ ）

652C∴34（ ）

B（2）∵AD∥BE（ ）

∴16（ ）

又∵12（ ）

∴26（ ）

∴AB∥CD（ ）

变式训练：如图，下列推理所注理由正确的是（ ）

A、∵DE∥BC

∴1C（同位角相等，两直线平行）

B、∵23

∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）

DC、∵DE∥BC 2 ∴23（两直线平行，内错角相等）

D、∵1C

3B ∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）

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 度，E出EA1EC

例2 如图，已知AB∥CD，求BBEDD的度数。

BA

1F

E2

CD

变式训练：如图，，已知AB∥CD，试说明BEDBD

AB

E

CD

拓展：1、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，则P900，试说明理由。

E

A

CF

2、如图，已知EF∥AB，CD⊥AB，12，试说明DG∥BC。

D

E

2B

回顾小结：

1、说说平行线的三个性质是什么？

2、平行线的性质与平行线的判定的区别：

判定：角的关系 平行关系

性质：平行关系 角的关系

3、证平行，用判定；知平行，用性质。

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BPDA1C

2.4用尺规作角

一、学习目标：1、会用尺规作一个角等于已知角。

二、学习重点：1、作一个角等于已知角。

2、作角的和、差、倍数等。

三、学习难点：作角的和、差、倍。

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习课本55-56页

（2）思考①什么叫尺规作图？②直尺的功能？圆规的功能？

（3）预习作业

利用尺规按下列要求作图

（1）

延长线段BA至C，使AC=2AB AB

（2）

延长线段EF至G，使EG=3EF EF

（3）

反向延长MN至P，使MP=2MN MN

（二）学习过程

1、（1）只用没有

的直尺和

作图成为尺规作图。

（2）尺规作图时，直尺的功能是（1）

，（2）

圆规的功能是（1）

，（2）

例1

下列说法正确的是（

）

A、在直线l上取线段AB=a

B、做,使得

C、延长射线OA

D、反向延长射线OB 例2

作图

（1）用尺规作一个角等于已知角.

已知：∠。求作：∠AOB，使∠AOB=∠

（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数:

已知：∠1求作：∠MON，使∠MON=2∠1

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1

（3）

用尺规作一个角等于已知角的和:

已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠1+∠2

21

（4）用尺规作一个角等于已知角的差: 已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠2－∠1

12

回顾小结：常见作图语言：（1）作∠XXX=∠XXX。

（2）作XX（射线）平分∠XXX。

（3）过点X作XX⊥XX，垂足为点X。

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第二章

回顾与思考

全章知识回顾

1、概念：相交线、平行线、对顶角、余角、补角、邻补角、垂直、同旁内角、同位角、内错角、平行线。

2、公理：平行公理、垂直公理

3、性质：

（1）对顶角的性质

；

（2）互余两角的性质

；

互补两角的性质

；

（3）平行线性质：两直线平行，可得出

；

；

平行线的判定：

或

或

都可以判定两直线平行。

3、

垂线段定理：

4、

点到直线的距离：

7、辨认图形的方法

（1）看“F”型找同位角；

（2）看“Z”字型找内错角；

（3）看“U”型找同旁内角；

8、学好本章内容的要求

（1）会表达：能正确叙述概念的内容；

（2）会识图：能在复杂的图形中识别出概念所反映的部分图形；

（3）会翻译：能结合图形吧概念的定义翻译成符号语言；

（4）会画图：能画出概念所反映的几何图形及变式图形，会在图形上标注字母和符号；

（5）会运用：能应用概念进行判断、推理和计算。

例1

已知，如图AB∥CD，直线EF分别截AB，CD于EM、N，MG、NH分别是EMB与END的平分线。试说明MG∥NH。

例2

已知，如图12,CD,试说明AF

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GAMHCFNDBDE2H1GFABC

例3

已知，如图AB∥EF，ABC=DEF,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由。

AB

C

D

EF

变式训练：

1、下列说法错误的是（

）

A、1和3是同位角

B、1和5是同位角

231C、1和2是同旁内角

D、5和6是内错角

546

2、已知：如图，AD∥BC，BAD=BCD，求证：AB∥DC。

CD4

2

13

AB

证：∵AD∥BC(已知) ∴1=

（

）

又∵BAD=BCD（已知）

∴BAD1=BCD2（

）

∴3=4

∴AB∥DC（

）

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几何书写训练

1、已知：如图，AB∥CD,直线EF分别截AB、CD于M、N,MG、NH分别是EMB与END的平分线。求证：MG∥NH。

证明：∵AB∥CD（已知）

∴

=

（

）

∵MG平分EMB（已知）

∴

=

=

（

）

21A2CHDFE1GB∵NH平分END（已知）

∴

=

=12

（

）

∴

=

（

）

∴

=

（

）

2、已知：如图，12,CD.求证:AF

证明：∵AF与DB相交（已知）

EDF∴

=

（

）

23∵12（已知）

1∴

=

（

）

∴

=

（

）

4A∴

=4（

）

BC∵CD（已知）

∴

=

（

）

∴

=

（

）

∴

=

（

）

3、已知：如图，AB∥EF，ABCDEF.求证：BC∥DE 证明：连接BE，交CD于点O ∵AB∥EF（已知）

AB∴

=

（

）

CO∵ABCDEF（已知）

D∴

—

=

—

（

）

E∴

=

（

）

∴

∥

（

）

4、已知：如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且1，求BCA的度数。

解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）

∴

∥

（

）

∴

=

（

）

∵12（已知）

∴

=

（

）

∴

∥

（

）

∴

=

（

）

3800F2，A32EB1F4CGD第

18 页

共

21 页

∵3800（已知）

∴ 800（

）

5、如图，已知121800,试说明3与4互补。

1推理过程：∵15（

）

（已知）

0180（等量代换）

0A52C36B12180∴5

24D∴

∥

（

）

∴3

又∵641800（

）

（

）

∴341800（

）

∴3与4互补（

）

6、已知AB∥CD，EG平分MEB，FH平分EFD,试说明EG∥FH。

推理过程：∵AB∥CD（已知）

∴MEB=

（

）

∵EG平分MEB，FH平分EFD（

）

A

∴112

，212G1E2HDB



（

）CF

∴12（

）

∴EG∥FH（

）

7、如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，12，试说明BE∥CF。

推理过程：∵AB⊥BC，BC⊥CD（

）

AB1E4C2D3F

∴ABCBCD900(

) ∴1324900

又∵12（

）

∴34（

）

∴BE∥

（

）

8、如图，BE∥CD，CE，试说明AADE

推理过程：

∵BE∥CD（

）

∴C

（

）

DE∵CE（已知）

∴E

（

）

F∴BC∥

（

）

1∴AADE（

）

ABC第

19 页

共

21 页

9、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO，FC⊥AB于C，12，试说明OD⊥AB。

推理过程：

∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）

∴DE∥

（

）

A∴2

（

）

∵12（

）

∴1

（

）

DE∴CF∥

（

）

24C∴3

（

）

3∵FC⊥AB（已知）

51∴3900

（

）

∴4900

（

）

∴OD⊥AB（

）

FBO10、如图，BE平分ABD，DE平分BDC，DG平分CDF,且1明BE∥DG.

推理过程：∵BE平分ABD，DE平分BDC（

）

A∴21

，22

（

）

∵12900（已知）

∴ABD

=180°

∴

∥

（

）

∴ABD

（

）

∵DG平分CDF（已知）

∴23

（

）

∴13（

）

∴BE∥DG（

）

E2900，试说CG1B23DF

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