多项式除以单项式教学设计思路

多项式除以单项式

1．经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程，会进行多项式除以单项式的除法运算．

2．探索多项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验．

3．理解多项式除以单项式的除法算理，发展有条理的思考及其表达能力．

重点

多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用．

难点

探索多项式除以单项式的运算法则的过程．

一、创设情境，导入新知

如图，任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果．

师：任意给一个非零数，体会程序(算法)的思想．

生：我输入m＝3，按下列程序可输出3，即程序：m→m2→m2＋m→m＋1→m. 如：m＝3→9→12→4→3；

m＝4→16→20→5→4；

m＝－1→1→0→0→－1. 师：为什么按上述程序输入m的值是几，输出的也是几？你能用算式说明其

中的道理吗？

生：上面的程序可用一个算式表示，即(m2

＋m)÷m－1.而算式中的(m2＋m)÷m是多项式除以单项式，……

二、合作探究，感受新知

(一)诱思自学

探求多项式除以单项式的除法法则：

1.计算下列各题，说说你的理由．

(1)(ad＋bd)÷d＝______；(2)(a2b＋3ab)÷a＝______ ；(3)(xy3－2xy)÷(xy)＝______．

师：上节课我们学习了单项式除以单项式，这节课我们就来学习多项式除以单项式．

凭同学们的数学经验，我们先来试着做第1题及(m2＋m)÷m.然后同学之间交流．

(学生带着问题自学，教师巡视．对个别没有自学意识等待老师“授之以渔”的学生进行鼓励：本节课知识并不难，你只要认真看、大胆说，这节课最棒的肯定是你) (二)成果展示

方法1：类比有理数的除法．

生：我是这样考虑的，类比数的除法把除以单项式看成是乘这个单项式的倒数，即：

(1)(ad＋bd)÷d＝(ad＋bd)×

1d ＝adbd＋(利用乘法分配律) dd ＝a＋b；

(2)(a2b＋3ab)÷a

1 ＝(a2b＋3ab)×

a11 ＝a2b×＋3ab×(利用乘法分配律) aa

a2b3ab ＝＋

aa ＝ab＋3b；

(3)(xy3－2xy)÷(xy) ＝(xy3－2xy)×1xy

xy32xy ＝－

xyxy ＝y2－2. 同样道理，按1题给出的程序为什么输进m是几，输出也是几呢？

原因是：(m2＋m)÷m－1 ＝(m＋m)×－1 21mm2m ＝＋－1 mm ＝m. 方法2：利用乘除法的互逆．

生：上面各题的计算，我利用乘法和除法互为逆运算得出，即我们要想计算出(1)中(ad＋bd)÷d是多少，试着想一下：(__)×d＝ad＋bd.逆用乘法分配律就可以得出：(a＋b)×d＝ad＋bd，所以(ad＋bd)÷d＝a＋b；

同理，第(2)题，由于(ab＋3b)×a＝a2b＋3ab，所以(a2b＋3ab)÷a＝ab＋3b；

第(3)题，由于(y2－2)×xy＝xy3－2xy，所以(xy3－2xy)÷xy＝y2－2. 师生共析：

从以上两个同学的分析，不难得出：

(1)(ad＋bd)÷d＝a＋b＝ad÷d＋bd÷d；

(2)(a2b＋3ab)÷a＝ab＋3b＝a2b÷a＋3ab÷a；

(3)(xy3－2xy)÷(xy)＝y2－2＝xy3÷(xy)－2xy÷(xy)．

由此，你可以得出什么样的结论？

(三)收获成功

议一议：如何进行多项式除以单项式的运算？

生1：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

生2：其实多项式除以单项式的除法运算可以转化为单项式除以单项式的运算，只要注意每项前面的符号即可．

例题讲解

(一)深化理解

例

计算：

(1)(6ab＋8b)÷(2b); (2)(27a3－15a2＋6a)÷(3a)；

(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy)；

11 (4)(3x2y－xy2＋xy)÷(－xy)．

22(四生上黑板展示过程，其余独立探究做题，再小组交流，互相点评) 生1：(1)(6ab＋8b)÷(2b) ＝(6ab)÷(2b)＋(8b)÷(2b) ＝3a＋4；

生2：(2)(27a3－15a2＋6a)÷(3a) ＝(27a3)÷(3a)－(15a2)÷(3a)＋(6a)÷(3a) ＝9a2－5a＋2；

生3：(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy) ＝(9x2y)÷(3xy)－(6xy2)÷(3xy) ＝3x－2y；

11生4：(4)(3xy－xy＋xy)÷(－xy) 22221111 ＝(3x2y)÷(－xy)－(xy2)÷(－xy)＋(xy)÷(－xy) 2222 ＝－6x＋2y－1.

(二)应用升华

做一做：

小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为

v，所用时间为

t1；第二阶段1的平均速度为v，所用时间为

t2.下山时，小明的平均速度保持为 4v.已知小明2上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？

(学生独立思考完成，在小组内点评方法．) 1生1：时间＝路程÷速度．上山路程＝下山路程＝vt1＋vt2. 21t1t22t1＋t2生2：下山时间为：(vt1

＋vt2)÷4v＝＋＝. 2488三、尝试练习，掌握新知

指导学生完成《探究在线·高效课堂》“自主检测”内容．

四、课堂小结，梳理新知

师：这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在导学案上．

我探索的规律：______________________；

我学会的方法：______________________；

我还懂得了： ______________________．

(学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励) 五、深入练习，巩固新知

学生完成《课堂精炼》“基础”部分．