平方差公式的应用教学设计及教案分析

平方差公式法因式分解教学设计

【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解第三节公式法第一课时内容。

【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学***方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数，高中学习一元二次不等式和分式不等式等都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！

【学情分析】

学生已有七年级所学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出a2-b2 = (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。

【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。通过学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。

【教学目标】

知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；

过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。

情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。

现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，使用检测试卷落实当堂效果。

【教学重点】

掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。

解决办法：通过大量实例的观察，分析，再通过对特殊例题的观察，讨论与交流总结相应的特征，感受它们的区别。

【教学难点】 使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。

突破措施：通过观察及交流增强认识，突破难点，让学生自己对特征反复描述、总结，体会图形研究的方法与视角。

【教学过程】 利用课件展示复习内容了解学生对因式分解概念及提公因式法的掌握情况，进一步复***方差公式进行整式乘法运算。

1 、知识回顾

A、

根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？

1）(2x-1)2=4x2-4x 2） 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 3）4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) B、把下列各式进行因式分解: 1） a3b3-a2b-ab 2） -9x2y+3xy2-6xy C、和老师比一比，看谁算的又快又准确！ 1、 322-312 2、 682-672

3、 5.52-4.52

4、(8/15)2-(7/15)2

D、在横线内填上适当的式子，使等式成立：

（1）（x+5)(x-5)= （2）(4x-3y)(4x+3y)= （3）（a+b)(a-b)= （4） x2-25 = (x+5) （5）

16x2 - 9y2 = (4x-3y) (6) a2-b2 = (a+b) 2、

导入新课：

（x+5)(x-5)=x2-25 (4x—3y)(4x+3y)=16x2-9y2

这是我们学习的整式的乘法运算。如果上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？ x2-25 =（x+5)(x-5) 16x2-9y2 =(4a—3y)(4x+3y)

这是因式分解的形式。你能对下列两个多项式因式分解吗？

（1）9a2-0.25b2 （2）4x2-9y2

3、

新课讲解：

我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法，像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。今天我们主要学***方差公式进行因式分解。

平方差公式反过来可得：a2-b2=(a+b)(a-b) 这个公式叫做因式分解中的平方差公式。

学生思考：1、当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？

（小组讨论，教师深入小组，倾听学生的交流后，引导学生从项数、次数、符号等方面观察归纳出多项式的特点：多项式为两项；两项符号相反；两项都可以写成平方的形式。）

【设计意图】让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再来归纳出分解因式的平方差公式．

2、文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

【设计意图】锻炼学生的文字概括及语言表达能力．加强对公式本质的理解．

练习Ⅰ：

1）

填空：

(1)a6=( )2; (2) 9x2=( )2; (3) m8n10=( )2; (4) x4=( )2 (5) 0.25a2n=( )2; (6) x4-0.81=( )2-( )2

【设计意图】使学生学会把一个代数式写成（ ）2形式的平方数，为平方差公式因式分解的应用变形做铺垫。

2 ）下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式？

(1) a2+4b2; (2) 4a2-b2; (3) a2-(-b)2; (4) –4+a2; (5) –4-a2; (6) x2-9; 3）

分解因式：（1） a2-16 （2）64-b2

(3) 1-25a2; (4) -9x2+y2; (5) a2b2-c2; (6) x4-y2. 【设计意图】通过2）和3）练习，进一步使学生理解平方差公式因式分解时多项式的特点，并学会熟练掌握应用平方差公式进行分解因式的规范书写格式，从而达到培养学生符号运用能力，使学生养成勤于观察和规范书写的习惯，体现本节课的重点。

利用课件展示a2-b2=(a+b)(a-b)公式中a和b可以表示数、单项式、多项式，教师引导学生进行当场编题训练使学生进一步对平方差公式分解因式有更全面的理解。

a2

- b2= ( a + b ) ( a – b )

教师展示（1）

a=2006, b=2005 (2) a=2mn, b=xy (3) a=x+z, b=y+p 利用以上三组数引导学生进行对比得出公式中的a和b可以表示“数、单项式、多项式”，并让学生分解所编的题达到渗透换元的数学思想方法。

例1：把下列各式分解因式：

（1） 16a2-9b2

(2) (x+p)2-(x+q)2

(3) 9(a+b)2-4(a-b)2

在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照，明确哪个相当于

a

，

哪个相当于

b.

练一练：把下列各式分解因式：

(1) x2 -1/16Y2

(2)0.25m2n2

– 1 (3) (2a+b)2 - (a+2b)2

(4) 25(x+y)2 - 16(x-y)2

【设计意图】进一步加深对公式本质的认识，体会整体的数学思想并用换元的方法将问题转化为公式的基本形式加以解决．

例2：把下列各式分解因式：

(1) 4x3-xy2 （2）

4x3 - 4x (3)x4-y4

引导学生经历探究、猜想和验证，直至解决问题的过程．归纳出因式分解的步骤

“一提二套”的方法，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，以及分解要彻底地思想．

练一练：把下列各式分解因式：

1）a b－ab 2） 12x －3y 【设计意图】使学生体验发现问题，解决问题的猜想和验证，直至解决问题的过程．从中体验成功地感受，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用以及分解因式应进行到每一个多项式因式不能再分解为止的原则。

【小结】

1、本节课我们主要学***方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：

1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）

2)每项可写成平方的形式

3)两项的符号相反

２、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，再用平方差公式分解因式。

３、分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

【布置作业】

1、课本习题4.4． １、3—8 2、1-6 2、课后思考: 观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16, 16-36= -20

······

（1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）的等式表示出来。

（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。

【课后反思】

本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解。学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上得比较成功。通过课后学科组教师点评使我首先清楚认识到我的教学特点：语言流畅、教态亲切、语速合适、设计合理、设计中小步骤。当然,本节课也存在一些问题，其中比较突出的就是在例题的安排上对题目的把握不是很好。把所有类型的利用平方差进行因式分解的题型在同一道例题中出现，对于刚接触这种方法的学生来说要求过高，也违背了我小步骤教学的教学特点。