小结教学设计第二课时

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3 第二章基本初等函数（I）

2．3

幂函数

1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．

12.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x2的图象，掌握它们的性质．

3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．

1．幂函数的概念

函数y＝____xα叫做幂函数，其中___x是自变量，α__是常数．

2．幂函数的图象与性质

(1)五种常见幂函数的图象

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6

(2)五类幂函数的性质

幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1－定义域___R___R___R[0，＋∞)(________________∞，0)∪_________(0，＋∞)值域___R______[0,＋∞)___R[0________，＋∞){y|y∈R且y≠0}

幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1奇偶性___奇偶___奇___非奇________奇非偶___x∈[0，＋∞)，x∈(0，＋∞)，___减单调性___增___增增x∈(－∞，0]，______增___减x∈(－∞，0)，___减公共点都经过点_________(1，1)

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二次函数都是幂函数．(

×

) (2)幂函数的图象恒过点(0，0)和(1，1)．(

×

) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(

×

)

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9

2．下列函数中不是幂函数的是(

C

) A．y＝x

B．y＝x3

C．y＝2x

D．y＝x－1

3．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(

A

) A．1，3

B．－1，1 C．－1，3

D．－1，1，3 解析：当幂函数为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，所以α＝1，3.

4．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________3．

5．若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是[0________，＋∞)．

探究点一

幂函数的概念

已知函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－m－1是幂函数，则m＝________1或－3．

[解析]

由题意知，若f(x)为幂函数，

则m2＋2m－2＝1. 即m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3.

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12

判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，

且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

1.(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝3x2；④y＝(x－1)2；⑤y＝2x；⑥y＝1x2.其中幂函数的个数为

(

B

) A．1

B．2 C．3

D．4 (2)若幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(9)＝________27．

解析：(1)符合幂函数解析式特征的函数只有①⑥，其余都不是幂函数．

(2)设f(x)＝xα，

则2α＝22，

所以α＝32，

33所以f(x)＝x2.所以f(9)＝92＝33＝27.

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探究点二

幂函数的图象与性质

已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P12，4，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．

[解]

因为f(x)＝xα的图象过点P112，4，所以f(2)＝4，即2α＝14，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．

[变设问]本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．

解：因为f(x)＝x－2，

则f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

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(1)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

2.已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．

解：因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，

所以m－3＜0. 所以m＜3. 又因为m∈N*，

所以m＝1，2. 又因为f(x)＝xm－3是偶函数，

所以m－3是偶数，

所以m＝1. 所以f(x)＝x－2.

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探究点三

比较幂的大小

比较下列各组数的大小．

(1)2150.5与0.53；

(2)－2－13－－13与5；

(3)233234与43.

[解]

(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，

又2＞1，所以20.510.5535＞3. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，

又－223＜－35，所以－133－＞－5－1.

(3)因为函数y21＝x3为R上的减函数，

又34＞23，

所以223＞23334. 2又因为函数y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，且3224＞3，

所以3222233＞32433，所以43＞34.

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比较幂值大小的三种基本方法

3.比较下列各组数的大小：

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1．幂函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

2．简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.

(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．

(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．

3．注意区分指数函数与幂函数

函数名称

解析式

解析式特征

y＝ax(a＞0，底数是常数，自变量在指数指数函数

且a≠1)

位置上

幂函数

y＝xα(α∈R)

指数是常数，自变量在底数位置上

1．在下列函数中，定义域和值域不同的是(

D

) 11A．y＝x3

B．y＝x2

52C．y＝x3

D．y＝x3

解析：A、C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞)．故选D.

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12．下列函数图象中，表示y＝x3的是(

C

)

1解析：y＝x3＝3x是定义域为R，值域为{y|y∈R}的奇函数，图象关于原点对称，所以A、D不正确，当x取2时，y1＝23＜2，根据幂函数的图象可知应选C.

13．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________－8．

解析：因为函数y＝x－3＝1x3在(－∞，0)上单调递减，

所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝11（－2）3＝－8.

4．已知y＝(m2＋2m－2)x

＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．

解：由题意得

m2＋2m－2＝1，m＝－3，m2－1>0，解得

2n－3＝0，n＝32，所以m＝－3，n＝32.