习题1.2优秀课堂实录

适用学科

适用区域

知识点

教学目标

教学重点

教学难点

高中数学

人教版区域

适用年级

课时时长（分钟）

高一

2课时

单调性的应用，最值问题

使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，是函数单调性的应用．

通过渗透数形结合的思想方法，掌握求函数最值的方法．

函数最大(小)值的定义和求法．

如何求一个具体函数的最值．

【教学建议】

函数的最大（小）值的定义，是借助于二次函数及其图像引出的，概念的出现仍然是遵循特殊到一般的原则.鉴于学生对于二次函数已经有了一个初步的了解，因此本节课多从学生接触过的二次函数入手，这样能使学生容易找到最高点和最低点.但这只是感性上的认识，要培养学生能用数学语言描述函数最值的概念，通过对概念的辨析，真正让学生理解最值概念的内涵，同时，在做题时多培养学生画图的能力，体会到数形结合的魅力. 【知识导图】

教学过程

一、导入

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①

情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

②

温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天最高温度、最低温度是多少以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

设计意图：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．从而引入最大值、最小值的概念．

二、知识讲解

【教学建议】通过前面的引导，得到函数最值的定义，建议老师在引导学生得到最大值的定义以后，可以让学生来类比写出最小值的定义：

前提

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

①对于任意xI，都有f(x)M；

条件

②存在x0I，使得f(x0)M

结论

M为最大值

②存在x0I，使得f(x0)M

M为最小值

①对于任意xI，都有f(x)M；

考点2函数的最大值

函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．

(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．

(2)由于点Cx0,y0是函数yf(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有yy0，即f(x)f(x)也就是对函数yf(x)的定义域内任意x，0，均有f(x)f(x0)成立．

(3)一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的xI，都有f(x)M；

②存在x0I，使得f(x0)M. 那么，称M是函数yf(x)的最大值．

．．．．(4) f(x)M反映了函数yf(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M. (5)函数y2x1，x(1,)没有最大值，因为函数y2x1，x(1,)的图象没有最高点．

(6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．

考点3函数的最小值

(1)函数最小值的定义是：

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的xI，都有f(x)M；

②存在x0I，使得f(x0)M. 那么，称M是函数yf(x)的最小值。

．．．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．

(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．

类型一：单调区间的判断并求最值

画出函数yx2x3的图象，指出函数的单调区间和最大值．

【解析】函数图象如图所示．

2

由图象得，函数的图象在区间(,1)和(0,1)上是上升的，在(1,0)和(1,)上是下降的，最高点是(1,4)，

故函数在(,1)，(0,1)上是增函数；函数在(1,0)，(1,)上是减函数，最大值是4. 【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题．

求函数y2在区间[2,6]上的最大值和最小值．

x1【解析】设2x1x26，则有f(x1)f(x2)2[(x21)(x11)]22

x11x21(x11)(x21)2(x2x1). (x11)(x21)∵2x1x26，∴x2x10，(x11)(x21)0. ∴f(x1)f(x2)，即函数y∴当x2时，函数y当x6时，函数y【总结与反思】

单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；

常用到下面的结论：

①如果函数yf(x)在区间(a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)；

②如果函数yf(x)在区间(a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b).

已知函数f(x)对于任意x,yR,总有f(x)f(y)2在区间[2,6]上是减函数．

x12在区间[2,6]上取得最大值f(2)2；

x122在区间[2,6]上取得最小值f(6). x15f(xy)且当x0时，，2f(x)0,f(1)

. 3(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2) 求f(x)在[3,3]上的最大值和最小值．

【解析】(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x,yR，总有f(x)f(y)f(xy)，

令xy0，得f(0)0．再令yx，得f(x)f(x)．在R上任取x1x2，则xx1x20，yf(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x), 又∵x0时，f(x)0．而x0，∴f(x)0．因此f(x)在R上是减函数．

方法二：在R上任取x1，x2，不妨设x1x2，

则xx1x20,yf(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x)

又∵x0时，f(x)0，而x0，

∴f(x)0，即y0．

因此f(x)在R上是减函数. (2)∵f(x)在R上为减函数，

∴f(x)在[3,3]上也为减函数，

∴f(x)在[3,3]上的最大值为f(3)、最小值为f(3)，

而f(3)f(111)3f(1)2，∵0f(0)f(33)f(3)f(3), ∴f(3)f(3)2, 因此，f(x)在[3,3]上的最大值为2，最小值为-2.

类型二最值的应用

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m) 【解析】作出函数h(t)4.9t214.7t18的图象，如图

所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．

由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t214.7t18，我们有：

4(4.9)1814.7214.729. 当t1.5时，函数有最大值h2(4.9)4(4.9)即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m. 【总结与反思】

本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．

解应用题的步骤是：

（1）审清题意读懂题；（2）将实际问题转化为数学问题来解决；（3）归纳结论．

注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．

四

、课堂运用

1. 函数yx24x2在区间[0,3]上的最大值是_________，最小值是_______. 2. 将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

3.函数f(x)1的最大值是(

) 1x(1x)A.4534

B.

C.

D.

5443答案与解析

1.【答案】2

【解析】函数yx24x2(x2)22是定义在区间[0,3]上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，

如图所示，函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2.

2. 【答案】为了赚取最大利润，售价应定为70元

【解析】设利润为y元，每个售价为x元，则每个涨x50元，从而销售量减少10(x50)

个，共售出50010(x50)100010x个

∴

y(x40)(100010x)10(x70)29000(50x100)

∴x70时，y9000元

3. 【答案】D 【解析】f(x)141114xf(x)，所以当时有最大值. 23x2x1(x1)2333244

1.已知2x3x，求函数f(x)x2x1的最值. 2.求函数yx1x的最大值. 3.如果函数f(x)(x1)21定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值. 4.求f(x)x22ax1在区间[1,2]上的最大值. 答案与解析

2

1.【答案】19

42【解析】由已知2x3x，可得0x33，即函数f(x)是定义在区间0，上的二222113次函数.将二次函数配方得f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标224313，且图象开口向上.显然其顶点横坐标不在区间内，如图所示。函数，0，242319. f(x)的最小值为f(0)1，最大值为f24

2.【答案】5

422【解析】令t1x0

有xt1，则ytt1(t)1225

，

41155t0,(t)20,

(t)2

2244

3.【答案】f(x)min(t1)21,t11,0t1

t21,t0【解析】函数f(x)(x1)21，其对称轴方程为x1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上. 如图1所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t，此时，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21. 

图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间t，t1上时，有t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1. 

图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间t，t1右侧时，有t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21. 综上讨论，f(x)min(t1)21,t1

1,0t1t21t0

图3 4.【答案】f(x)max12a2,a2

14a5,a2【解析】二次函数的对称轴方程为xa，

11即a时，f(x)maxf(2)4a5；

2211

当a即a时，f(x)maxf(1)2a2

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2

14a5,a2

1. 已知y24a(xa)(a0),，求u(x3)2y2的最小值. 2. 已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值．

答案与解析

1.【答案】f(x)min12a8a2,(0a1)

2(a3),(a1)【解析】将y24a(xa)代入u中，得u[x(32a)2]12a8a2,x[a,)

①

32aa，即0a1时，f(x)minf(32a)12a8a2

②

32aa，即a1时，f(x)minf(a)(a3)2

所以f(x)min212a8a,(0a1)

. 2(a3),(a1)2.【答案】a3或a3

8【解析】f(x)a(x1)21a,x[3,2]

（1）若a0,f(x)1,，不符合题意.

（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1，由8a14，得a3.

8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a，由1a4，得a3.

综上知a3或a3．

8

本节讲了2个重要内容：

（1）最值的定义：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x)M. 那么，称M是函数yf(x)的最大值. 仿照最大值定义，可以给出最小值的定义. （2）最值的常用求法

①配方法：研究二次函数yax2bxc(a0)的最大（小）值，当定义域为R时，先配方成ya(xh)2k后，当a0时，函数取最小值为k；当a0时，函数取最大值k. ②单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值. ③图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.

六

、课后作业

1. 抛物线yx2(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2. 用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为

________

3. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

答案与解析

1.【答案】4，14或2，3

2

l222.【答案】m. 163.【答案】(1)

y3x2252x4860,30x54；

(2) 售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【解析】(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，

那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x．



y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2) 由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

1.

已知x1，且a20，求函数f(x)x2ax3的最值. 2. 已知f(x)x22x3，当x[t,t1](tR)时，求f(x)的最大值. 3. 求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值.

答案与解析

1.【答案】函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a. 【解析】由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函2aa2数，将f(x)配方得：f(x)x3. 24aaa2二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

242由a2可得x2a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上. 2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a.

2.【答案】f(x)max12t2,t2

1t22t3,t2【解析】：由已知可求对称轴为x1．

（1）当t1时，f(x)minf(t1)t22．

（2）当t1t1，即0t1时，．

tt111即0t时，f(x)maxf(t)t22t3．

2222tt111即t1时，f(x)maxf(t1)t2．

若222根据对称性,若（3）当t11即t0时，f(x)maxf(t)t22t3．

综上，f(x)max12t2,t2

1t22t3,t23.【答案】y最大(a1),a22a,2a2

4a1,a2aaaa2a2【解析】函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，22224a1即2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

2（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)

（2）2a2；由图可知f(x)maxf()

（3）

a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2

42f(1),a2a1,a2

1.

x2x在区间[m,n]已知函数f(x)2上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值. 2.

已知f(x)的值域为[,]，求函数3489yf(x)12f(x)的值域. 答案与解析

1.【答案】m4,n0

【解析】讨论对称轴x1中1

与m,mn,n的位置关系。

2①若mn1，则f(x)maxf(n)3n，解得m4,n0

f(x)minf(m)3m②若f(x)maxf(1)3nmn1n，则，无解

2f(x)minf(m)3m

f(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若1mn，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0．

2.【答案】[,]

77981t2【解析】令12f(x)t，得f(x). 2由于341111f(x)，得12f(x).因此t. 8994321t211111ytt2t[(t1)22].t[,]. 222232当t1717时y有最小值；当t时y有最大值. 39287798故yf(x)12f(x)的值域为[,].