小结优秀教案说课稿

利用已学函数性质研究新函数

——形如f(x)axb(a，b为非零常数)

x的函数的性质及应用教学设计

昆明第一中学 张宇甜

一、课标分析：

以实际问题为载体，通过建模，得到一个新函数，并借助数学运算，利用已学函数性质，分析、想象，最后经几何画板作图验证；通过以学生为主体探究并当堂完成部分证明工作的教学活动，发展学生的核心素养。

1.探索形如2.观察形如f(x)x1x的函数图象及性质；

bxf(x)ax的函数图象，概括函数性质；

f(x)axbx3.通过具体实例，了解形如二、教材分析

的函数模型的应用.

函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程。函数也是一条纽带，它把中学数学的各个分支紧紧连在一起。成为高考的重点和热点。近几年高考试题中，所考察内容主要有函数定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值、周期性、以及函数图象的变换等。对于函数这些性质，学生除了牢固掌握外还必须会灵活应用，并通过它们研究函数性质。教材也基本是按照这几个方面编排，但讲完后总觉得各部分是孤立的，学生对其整体理解很欠缺，因此在小结中有必要设置一个载体，让学生自主研究，通过性质的整体分析，结合图象达到数形结合的目的。让学生牢固掌握这些性质，并学习利用这些性质探究新函数的方法，也是这节课的重点内容。本节课安排在必修一《函数》一章小结中，前有《二次函数在给定区间上的最值问题》作知识准备，后为学习《幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质》作铺垫，有承上启下的作用。

三、学情分析：

按教材编排和高考要求分别讲完函数定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值，对于各知识点的单独考察，学生已具备一定能力，能解比较直观的题，但由于初中所学函数类型较少，对于新函数，学生往往不知该如何研究，才能迅速而准确地认识它。其主要原因是学生缺乏知识点间的横向联系，因此有必要在课堂上给学生渗透这种意识，教他们将各支节有机的结合起来的思路和方法，逐渐养成自我独立分析的能力。

教学重难点： 重点：掌握由一般解析式推导函数性质,能用图象刻画的一般程序和方法，并体会新函数的研究价值。

难点：：掌握由一般解析式推导函数性质并能用图象刻画的一般程序和方法。

三、课前预习：思考学案中涉及的问题。

（设计意图：预习过程中已经对将要学习的内容有了初步了解，归纳总结，以便合作交流时更有针对性，提前把学习变为主动的求知过程，会学习的学生是有备而来的，是带着疑问和目的来的。教师对数学课的预习要求具有明确性、可行性，预习的问题具有点1

拨性、层次性，教师在课前设计中把学习内容以导学提纲形式呈现出来，设计问题难度适中，注意深入浅出，体现点拨性，通过教师的指导使学生顺利完成预习任务，达到预期的自学效果。将预习题作为教学设计的一部分，全盘考虑预习要达到什么样的目的，预习要初步解决哪些问题。预习过的学生课堂学习过程中带有明显的针对性，注意力更为集中，能够获取自己想要得到的答案，学习质量高于其他人。）

四、教学过程：

（一）

复习已学过的函数类型及一般函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值。

【问题1回忆旧知】—

给出一个确定的函数常从哪些方面研究？

_________； _________； _________；

_________； _________； _________. （二）知识引入及探究

师：前段时间，我们学习了函数的概念、性质，并研究了“二次函数在给定区间

上的最值问题”，不久前，同学碰到一个实际问题：

【问题2获取新知】—

引例：

学校举行音乐剧前，各班需张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为32dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报尺寸，才能使空白面积最小？

设版心的宽为 xdm，则

32 S(x)x2432x64 4x8x0x（设计意图：由学校艺术节活动——音乐剧的海报设计引起学生的兴趣，使学生有学习该内容的热情，同时，培养学生的数学抽象、数学建模的素养。）同学们不清楚函数f(x)4x64的性质，就先研究这类函数的简单形式：

x今天，我们将研究一类新的函数。现在，先请大家解决下面这

个简单的问题. 【探究1】—

探究函数f(x)x1的图象及性质：

x提问：怎样作出一个新函数的大致图象？（学生答：列表，描点，连线），教师2

纠错，并提醒注意定义域，利用奇函数的性质快速作草图。

（设计意图：复习旧知）

x

f(x)

提问：如何确定x0时函数的最小值？二次函数求值域的配方法能否借鉴？

1f(x)x生：x1x22

x1x22，

x221f(x)x因为x0，所以等号不能取，故改为x当x1，即x1时f(x)2，所以(1,2)为函数图象在第一象限的最低点。

x师：是否有其它方法作图？

1叠加而成。

x（设计意图：在学生思维的最近发展区，恰时恰当地提出一个新问题，激活了学生的思维冲动,并为以后讲渐近线及对后面的函数图象的猜想奠定基础。）

生：利用函数yx与y

师：刚才大家看到的是我们自己通过列表、描点、连线作出的大致图象,基本正确，

但还不够精确.下面,请大家欣赏同学用几何画板作出的函数图象. 师：函数图象的形状很象两个勾，有人称它为“双勾函数”，又有人称它为“耐

克函数”，因为在第一象限它很象一体育品牌“耐克”的标志.。下面我们可以3

归纳“双勾函数”f(x)x

1的性质了。

x(1)定义域：____________________；(2)奇偶性：_________________；

(3)单调增区间：________________；单调减区间：________________；

(4)值域：________________. 其中，单调性要用定义严格证明，请同学们完成。

【探究2】—

探究函数f(x)xb(b0)的图象及性质：

x师：由学生利用函数的叠加方法猜测此函数图象形状及性质，并欣赏老师用几何画板作出的函数图象.(电脑演示动画,增强学生对函数性质的理解)，归纳函数性质。

(1)定义域：________________；(2)奇偶性：________________；

(3)单调增区间：________________；单调减区间：________________；

(4)值域：________________.

【探究3】（教师几何画板动画演示）—观察函数f(x)axbx(a0b,0)的图象，学生慨括性质：

(1)定义域：________________；(2)奇偶性：________________；

(3)单调增区间：________________；单调减区间：________________；

(4)值域：________________.(5)点P坐标：________________.

其中，单调性要用定义严格证明，请同学们课后完成。

（设计意图：这一环节教师通过递进式的设问、引导，让学生在自主探索与合作

交流中，历经由具体到抽象、由特殊到一般转化的思维过程，掌握“双勾函数”

及其图象的性质，提升学生探究函数性质的能力。）

【问题】（教师几何画板动画演示）——观察函数f(x)ax由学生说明函数的单调性变化的理由。

b(ab0)的图象，x

（设计意图：复习巩固函数的叠加的单调性原则，希望同学们从更多的角度，更宽的视野，提出更多的问题。）

（三）知识应用

1.解决引例问题：

64函数 t4x

在0,4是减函数,

x

在4,+是增函数

2在x4时,t最小值为32 S(x)40

(dm)min

答:版心的宽为4分米，高为8分米时,海报空白面积最小值为40平方分米.4

【例1】求函数f(x)x1在以下区间的值域. x11（1）x,1；

（2）x2,3； (3) x,m

42学生群体口答（1），

（2），教师提问（3）的思路，并用几何画板动画演示，以帮助基础弱的学生及时理解。

答案:(1)2,52(2)5102,3

(3)求函数f(x)x1x,x14,m的值域.解：因为m1(i)当144m1时，时：f(x)在14,m上单调递减故f(m)f(x)f14即f(x)117mm,4

5

(ii)当1m4时，1f(x)在,1上单调递减,在[1,4]上单调递增,4时：1又ff(4)f(m)41故f(1)f(x)f417即f(x)2,4(iii)当m4时，1f(x)在,1上单调递减,在[1,m]上单调递增,4

（设计意图：与以前学过的二次函数在闭区间的最值问题对比，寻找相似问题的类似解法，并指出不同点。）

练习：若不等式x22ax10对任意x,4恒成立,2求a的取值范围.2解法一：设f(x)x2ax1，对称轴为xa11,4上单调递增,(i)当a时，f(x)在221f(x)0要使对任意x,4恒成立.215即需使f(x)min0，而f(x)minfa12515a，故a故需使a0，即42446

故需使178a0，即a综上所述，a(,1].17（舍去）812解法二：要使x12ax对任意x,4恒成立,211即需使x2a对任意x,4恒成立,x211x2ax,4成立,即需使xmin2.即需使22a，即a(,1].

（设计意图：通过两种方法的对比，让学生惊叹解法二的快捷，理解学习新函数的必要性，从而增加好奇心和求知欲）

（四）知识总结

师：这节课我们学到了哪些知识？

小结：（师生共同完成）

7

1.给出一个确定的函数，常从几个方面研究它：•定义域. 奇偶性.单调性.函数图象.值域.2.通过类比二次函数问题，学会解决b形如fxax(a,b为非零常数)x的函数在给定区间的值域问题。3.形如

fxaxb(a,b为非零常数)的函数性质归纳：（在学案上完成）4.本节课的数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化与化归.x

（五）知识巩固：布置作业：

1. 填写学案中小结的表格. 2.证明函数f(x)ax增函数

3.求函数f(x)4xbbb(a,b0)在上为减函数，在上为

0,,xaa1在以下区间的值域。

x（1）x0,；

（2）x2,1. 4.求函数f(x)xa,xm,n(m0且a0)的值域。

x1的值域

2x5. 求函数f(x)x26.求函数f(x)x的值域

2x17. 若不等式x2ax-10对任意x

附导学案：形如

21,4恒成立，求a的取值范围. 2f(x)axb(a，b为非零常数)

x8

的函数的性质及应用(导学案)

学

习2.观察形如目标

1.探索形如f(x)x1x的函数图象及性质；

bxf(x)ax的函数图象，概括函数性质；

f(x)axbx3.通过具体实例，了解形如的函数模型的应用.

【问题1回忆旧知】—

给出一个确定的函数常从哪些方面研究？

_________； _________； _________；

_________； _________； _________. 【问题2获取新知】—

引例：

学校举行课本剧前，各班需张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为32dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报尺寸，才能使空白面积最小？

【探究1】—

探究函数f(x)x复

习

引入

x

1的图象及性质：

x

f(x)

其它方法：

9

(1)定义域：____________________；(2)奇偶性：_________________；

(3)单调增区间：________________；单调减区间：________________；

(4)值域：________________. 【探究2】—

探究函数f(x)xk(k0)的图象及性质：

x(1)定义域：________________；(2)奇偶性：________________；

(3)单调增区间：________________；单调减区间：________________；

(4)值域：________________.

【探究3】（教师几何画板演示）—观察函数f(x)ax图象，慨括性质：

b(a,b0)的x(1)定义域：________________；(2)奇偶性：________________；

(3)单调增区间：________________；单调减区间：________________；

(4)值域：________________.(5)点P坐标：________________.

1.形如f(x)axb(a，b为非零常数)

x小结

10

2.

1. 填写导学案中小结的表格. 2.证明函数f(x)ax为

增函数

3.求函数f(x)4xbbb(a,b0)在0,,上为减函数，在上xaa1在以下区间的值域。

x（1）x0,；

（2）x2,1. 作a业

4.求函数f(x)x,xm,n(m0且a0)的值域。

x5. 求函数f(x)x21的值域

2x6.求函数f(x)x的值域

2x17. 若不等式x2ax-10对任意x21,4恒成立，求a的取值范围. 211

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