习题2.1教案和学案内容

第2课时

指数函数及其性质的应用(习题课)

利用指数函数的单调性比较大小

比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5和1.53.2；

(2)0.6－1.2和0.6－1.5；

(3)1.70.2和0.92.1. 【解】

(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，

由于底数1.5＞1，

所以函数y＝1.5x在R上是增函数，

因为2.5＜3.2，

所以1.52.5＜1.53.2.

(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，[来源:Zxxk.Com]

因为0＜0.6＜1，

所以函数y＝0.6x在R上是减函数，

因为－1.2＞－1.5，

所以0.6－1.2＜0.6－1.5.

(3)由指数函数性质得，

1．70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，

所以1.70.2＞0.92.1.

比较幂值大小的三种类型及处理方法

1.试比较下列各组数的大小：

1(1)2，20.30.3－0.4，80.2；

233－. (2)1.3，0.8，41解：(1)因为2－0.4＝20.4，80.2＝(23)0.2＝20.6，

又因为y＝2x在R上是增函数，

1所以2＜2＜2.所以2＜20.30.40.60.3－0.4＜80.2.

(2)因为1.30.3＞1.30＝1，

3－＜0，

0．8＜0.8＝1，42033－. 所以1.3＞0.8＞40.323

解简单的指数方程与指数不等式

1

(1)解不等式2(2)若a－3x＋2x－1≤2；

＞ax4(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．

2x－11【解】

(1)2＝(21)2x1＝21－－－2x－2x，

因此原不等式等价于21≤21，

又y＝2x是R上的增函数，

所以1－2x≤1.所以x≥0.

因此原不等式的解集是{x|x≥0}．

(2)①当0＜a＜1时，

由y＝ax在R上单调递减得－3x＜x＋4，即－4x＜4.

解得x＞－1.

②当a＞1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x＞x＋4.

即－4x＞4.解得x＜－1.

综上，当0＜a＜1时，x的取值范围为(－1，＋∞)，

当a＞1时，x的取值范围为(－∞，－1)．

解与指数有关的不等式需注意的问题

(1)形如ax＞ay的不等式，借助y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性求解；

(3)形如ax＞bx的形式，利用图象求解．

2.(1)已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1x，求x的取值范围；

－(2)解方程4x＋2x－6＝0. 17a＋＋＞1，

解：(1)因为a＋a＋2＝2422所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．

1所以x＞1－x，解得x＞.

21，＋∞.

所以x的取值范围是2(2)设t＝2x(t＞0)，则原方程可化为t2＋t－6＝0.

即(t＋3)(t－2)＝0.

解得t＝－3或t＝2.

又因为t＝2x＞0，

所以t＝2，即2x＝2＝21，

解得x＝1.

所以方程4x＋2x－6＝0的解为x＝1.

指数型函数的单调性

2－x＋2x

讨论函数f(x)＝3的单调性，并求值域．

【解】

函数f(x)的定义域为R.

2令t＝－x＋2x，则y＝3.

2t222因为y＝3在(－∞，＋∞)上是减函数，而t＝－x＋2x在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，[来源:Z&xx&k.Com]t

所以f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

因为t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，

22所以y＝(t≤1)，所以y≥.

332所以这个函数的值域为y|y≥3，

t2所以原函数的值域为y|y≥3. 

函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理方法

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．

3.求函数y＝2x－1的单调区间．

解：由x－1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)．

令u＝x－1(x≥1)，则函数u＝x－1(x≥1)为增函数，

故函数y＝2x－1的单调增区间为[1，＋∞)，没有减区间．

指数函数的实际应用

某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．

【解】

现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；

经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；

…

经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．

故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.

解决指数函数应用题的流程

(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．

(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．

(3)解模：运用数学知识解决问题．

(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．

4.(1)某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b，2016年该市生活垃圾量为a吨，由此可以预测2026年生活垃圾量为(

) A．a(1＋10b)吨

C．a(1＋b)10吨

B．a(1＋9b)吨

D．a(1＋b)9吨

(2)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(

) 1.04A．y＝3601.012x－1

B．y＝360×1.04x

1.04D．y＝3601.012

x360×1.04xC．y＝

1.012解析：(1)选C．由2016年到2026年共经历了10年，故可以预测2026年生活垃圾量为a(1＋b)10吨．

(2)选D．设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为360M(1＋4%)360M(1＋4%)2，2年后，人均占有粮食产量为，…，经过x年后，人均占有粮M(1＋1.2%)M(1＋1.2%)2

360M(1＋4%)x1.04x食产量为，即所求解析式为y＝3601.012.

M(1＋1.2%)x

1．比较两个指数式值的大小的主要方法

(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．

(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn. 2．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理方法

当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0

【规范解答】

指数函数性质的综合应用

1

(本题满分12分)已知函数f(x)＝a－x(x∈R)．

2＋1(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；

(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．

【解】

(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，

11则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋

2x1＋12x2＋1＝2x1－2x2.(1＋2x1)(1＋2x2)

(3分)

作差后变换是本题难点

因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，

又(1＋2x1)(1＋2x2)＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以不论a为何实数，

f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数.

(5分)

(6分)

正确得出此结论对下一步有很大作用，否则扣7～9分

(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，

所以f(0)＝0，

即a－11＝0，解得a＝. 220＋1(8分)

11f(x)＝－x，

22＋1由(1)知，f(x)为增函数，

所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)．

111因为f(1)＝－＝，

2361所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 6

(1)解决指数函数性质的综合问题的两个关注点

①指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．

②指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．

(2)重视数学语言的规范和准确

对于函数的单调性、奇偶性的表述要注意语言的规范性、准确性．如本例中证明函数f(x)在R上是单调增函数，必须严格按照增函数的定义证明，同时要特别注意与0的比较．

1．下列判断正确的是(

) A．2.52.5＞2.53

C．π2＜π2(10分)

(12分) B．0.82＜0.83

D．0.90.3＞0.90.5

解析：选D．因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，

所以0.90.3＞0.90.5.

2．已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为(

) A．m＞n

C．m＝n

B．m＜n

D．不能确定

解析：选B.因为y＝0.3x为减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n.

13．函数y＝21－x的单调递增区间为(

) B．(0，＋∞) D．(0，1) uA．(－∞，＋∞)

C．(1，＋∞)

1解析：选A．定义域为R.设u＝1－x，则y＝2.因为u＝1－x在R上为减函数，

1又因为y＝2在(－∞，＋∞)上为减函数，

u

1所以y＝21－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A．

－4．函数y＝4－2x1的值域是________．

解析：因为2x1＞0，所以0≤4－2x1＜4.

－－所以0≤4－2x1＜2.

－答案：[0，2) 15．已知集合M＝x3x＋1≤9x－2，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域．

，x∈R解：由3x＋11≤9x－2，得3x1≤34＋－2x.

因为函数y＝3x在定义域R上是增函数，

所以x＋1≤4－2x，解得x≤1.

因为函数y＝2x是增函数，

所以当x≤1时，2x≤21＝2，即y＝2x≤2.

又因为指数函数y＝2x>0，

所以0

即函数y＝2x的值域是(0，2]．

[A

基础达标] 1．(2017·佛山高一检测)函数y＝2x－8的定义域为(

) A．(－∞，3)

C．(3，＋∞)

B．(－∞，3] D．[3，＋∞) 解析：选D．由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3，所以函数y＝2x－8的定义域为[3，＋∞)．

2．函数y＝16－4x的值域是(

) A．[0，＋∞)

C．[0，4)

解析：选C．由题意知0≤16－4x＜16，

所以0≤16－4x＜4.

所以函数y＝16－4x的值域为[0，4)．

3．已知f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(

) －B．[0，4] D．(0，4) A．a＞0

C．a＜1

B．a＞1 D．0＜a＜1 解析：选D．因为－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，

1又f(x)＝a＝a，

－xx11，

所以＞aa1所以＞1，所以0＜a＜1.

a4．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(

)

A．a>b>c

C．c>b>a

B．b>a>c

D．c>a>b

－2－3解析：选D．因为函数y＝0.8x为减函数，又0.7＜0.9，所以0.80.7＞0.80.9，即a＞b.因为c＝1.20.8＞1，a＝0.80.7＜1，所以c＞a，故c＞a＞b. b，a≥b，－5．若定义运算f(a*b)＝则函数f(3x*3x)的值域是(

) a，a＜b，A．(0，1]

C．(0，＋∞)

B．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：选A．由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y1x－x＝3＝的图象，由图象很容易看出函数f(3*3)的值域是(0，1]．

3－xx16．已知函数f(x)＝2，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)，则a＝________，若g(x)＝4x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________．

－ax11.g(x)＝f(x)解析：因为函数的图象过点(－1，2)，所以＝2，所以a＝1.所以f(x)＝22可变形为4x－2x－2＝0，解得2x＝2或2x＝－1(舍去)，所以x＝－1.

－－－－－ax答案：1

－1 7．(2017·绍兴高一检测)已知函数f(x)＝2|xa|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增－函数，则a的取值范围是________．

xa2，x≥a，|x－a|解析：由函数f(x)＝2＝－x＋a可得，当x≥a时，函数f(x)为增函数，而已知2，x＜a－函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．

答案：(－∞，1] 8．下列说法中，正确的是________(填序号)．

①任取x＞0，均有3x＞2x；

②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；

③y＝(3)x是增函数；

－④y＝2|x|的最小值为1；

⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2x的图象关于y轴对称．

－

解析：任取x＞0，均有3x＞2x，即①正确；

当a＞1时，a3＞a2，当0＜a＜1时，a3＜a2，②错误；

y＝(3)x是减函数，③错误；

－y＝2|x|的最小值为1，④正确；

1在同一坐标系中，y＝2与y＝2＝⑤正确．故正确的是①④⑤.

2的图象关于y轴对称，x－xx答案：①④⑤

9．比较下列各组值的大小：

(1)1.8－0.1，1.8－0.2; (2)1.90.3，0.73.1；

(3)a1.3，a2.5(a＞0，且a≠1)．

解：(1)由于1.8＞1，所以指数函数y＝1.8x在R上为增函数．所以1.8(2)因为1.90.3＞1，0.73.1＜1，

所以1.90.3＞0.73.1.

(3)当a＞1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3＜a2.5；

当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3＞a2.5，

故当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；

当a＞1时，a1.3＜a2.5. cx＋1，0＜x＜c，c910．已知函数f(x)＝满足fx2＝8. 2－＋1，c≤x＜12c(1)求常数c的值；

(2)解关于x的不等式f(x)＞2＋1. 8－0.1＞1.8－0.2.

c9c91解：(1)由f＝，得c·＋1＝，解得c＝.

282822x＋1，0＜x＜2，(2)由(1)得f(x)＝

12＋1，2≤x＜1.－4x11由f(x)＞211221＋1，得当0＜x＜时，x＋1＞＋1，解得＜x＜；

8228421215－当≤x＜1时，24x＋1＞＋1，解得≤x＜.

2828综上，不等式f(x)＞225＋1的解集为{x|＜x＜}．

848[B

能力提升] 11．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k为常数)，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，k为预测期

内的年增长率，如果－1

) A．呈上升趋势

C．先上升后下降

B．呈下降趋势

D．先下降后上升

解析：选B.Pn＝P0(1＋k)n是指数型函数，

因为－1

所以0<1＋k<1.由y＝ax(0

a12．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

2解析：分情况讨论：

①当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，

a1所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；

22②当a＞1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，

a3所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．

2213综上所述，a＝或a＝.

2213答案：或

2213．若函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]时，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．

解：由题意知1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]上恒成立．

1＋2x即a＞－x在x∈(－∞，1]上恒成立，

41＋2只需a＞－x，

4max1＋2x12x1x令f(x)＝－x＝－2－2.

4x∈(－∞，1]，

易知f(x)在x∈(－∞，1]上为增函数，

33则f(x)max

＝f(1)＝－，所以a＞－.

44ax－114．(选做题)已知函数f(x)＝x(a＞1)．

a＋1(1)判断该函数的奇偶性并说明理由；

(2)求该函数的值域；

(3)证明f(x)是R上的增函数．

x

解：(1)f(x)为奇函数．理由：

函数的定义域为R，

ax－1ax－1f(－x)＋f(x)＝－x＋x

a＋1a＋1－(ax＋1)(ax－1)＋(ax＋1)(ax－1)＝＝0.

－(ax＋1)(ax＋1)－－所以函数f(x)为奇函数．

ax－12(2)因为f(x)＝x＝1－x(a＞1)．

a＋1a＋12设t＝ax，则t＞0，因为y＝1－(t＞0)的值域为(－1，1)，所以函数f(x)的值域为(－1，t＋11)．

(3)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则

ax1－1ax2－12(ax1－ax2)f(x1)－f(x2)＝－＝.

ax1＋1ax2＋1(ax1＋1)(ax2＋1)因为a＞1，x1，x2∈R，且x1＜x2，

所以ax1－ax2＜0，ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，

2(ax1－ax2)所以＜0，

(ax1＋1)(ax2＋1)即f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)是R上的增函数．

指数函数(强化练) 一、选择题

1．化简[3(－5)24]的结果为(

3

)[来源学科网Z|X|X|K]

B．5 D．－5 A．5

C．－5

解析：选B.[3(－5)|x|＋124]＝(5)323×413＝52×41＝5＝5，故选B.

1212．函数f(x)＝2A．(0，＋∞)

C．(－∞，2]

的值域是(

) 10，

B．21D．2，2

x|x|＋111解析：选B.|x|＋1≥1，又y＝是减函数，所以f(x)＝22－10，. 的值域为23．已知函数f(x)＝7＋ax1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P，则P点的坐标是(

)

A．(1，8)

C．(0，8)

B．(1，7) D．(8，0) 解析：选A．由x－1＝0即x＝1得f(1)＝7＋a0＝8，所以f(x)的图象恒过定点(1，8)，故选A．

01(－4)14．计算2－＋＋－(1－5)0的结果是(

) 222－1A．1

C．2

B．22 1D．2－

202＋11(－4)111解析：选B.2－＋＋－(1－5)0＝＋＋－1＝2＋2222－122(2－1)(2＋1)＋1－1＝22.故选B. 1127－3－025．化简求值：24－(－2 014.1)－8＋(1.5)2的值为(

) A．2

1C．

21－22B．3 1D．

3－2923＋3＝3－1－4＋4＝1.故选C．

解析：选C．原式＝－1－42229926．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(

)

解析：选C．当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以y＝ax－a的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C．

a，x>1，7．若函数f(x)＝a是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为4－x＋2，x≤12(

) A．(1，＋∞)

C．(4，8)

B．(1，8) D．[4，8) a>1，x4－a>0，解析：选D．由f(x)在R上是单调递增函数，知2

4－a×1＋2，a≥21解此不等式组，得a∈[4，8)．

3－33－43－48．已知a＝5，b＝5，c＝2，则a，b，c的大小关系是(

) A．c＜a＜b

C．b＜a＜c

31113B．a＜b＜c

D．c＜b＜a

13－43－33－43x解析：选D．0＜2＜1，5＞1，5＞1.因为函数y＝5在R上是减函数，且3－33－411－＜－，所以5＞5.

343－33－43－4综上可知，5＞5＞2，

即c＜b＜a.

19．关于x的方程3－a－1＝0有解，则a的取值范围是(

) A．0＜a≤1

C．a≥1

B．－1＜a≤0 D．a＞0 |x||x||x|1131111－a－1＝解析：选B.根据题意，结合指数函数的性质，得0＜y＝≤1，故方程3310有解，知3＝a＋1⇔a＋1∈(0，1]，可得a的取值范围是－1＜a≤0.故选B. 10．已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(

) |x|

解析：选A．由f(x)的图象知：0＜a＜1，b＜－1，排除C、D，因为g(0)＝1＋b＜0，所以排除B，故选A．

二、填空题

43－3x÷6y2＝________．

11．化简4x·3－xy4解析：原式＝4·x(－3)·xy÷(－6)yx答案：2xy1

－14114－3[213－2]＝2xy－1.

12．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝________．

解析：由题意知f(－x)＝f(x)，

g(－x)＝－g(x)，

f(－x)＋g(－x)＝ex，

－即f(x)－g(x)＝ex，

－由条件f(x)＋g(x)＝ex，

ex－ex知g(x)＝.

2－ex－ex答案：

2－11－x13．函数f(x)＝2的单调递增区间为________．

11－x1解析：由于底数∈(0，1)，所以函数f(x)＝2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，211－xf(x)＝2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)，可11－x22知：当x≤0时，y＝1－x是增函数；当x≥0时，y＝1－x是减函数．所以函数f(x)＝2的单调递增区间为[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞) 14．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为________．

解析：当0＜a＜1时，f(x)＝ax为减函数，最小值为a2，最大值为a，故a＝2a2，解得a1＝.

2当a＞1时，f(x)＝ax为增函数，最小值为a，最大值为a2.

1故a2＝2a，解得a＝2.综上，a＝或a＝2.

21答案：或2 2三、解答题

15．已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，且g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．

解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，

因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，

11又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝，因此g(2x－1)＜g(3x)⇔22x2x－12222

1＜2⇔2x－1＞3x⇔x＜－1.

即x的取值范围是(－∞，－1)．

16．已知函数f(x)＝ax1(x≥0)，其中a＞0且a≠1. －3x12，，求a的值；

(1)若f(x)的图象经过点2(2)求函数f(x)(x≥0)的值域．

12，，

解：(1)函数图象过点211－所以a21＝，即a＝.

22(2)f(x)＝ax1(x≥0)，

－由x≥0得x－1≥－1.

当0＜a＜1时，有0＜ax1≤a1，

－－即0＜f(x)≤a1.

－当a＞1时，有ax1≥a1，即f(x)≥a1.

－－－综上，当0＜a＜1时，

10，；

f(x)的值域为a1，＋∞.当a＞1时，f(x)的值域为a[来源:Zxxk.Com]

17．已知x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围．

1解：原不等式变形为m－m＜2，

2x1因为函数y＝2在(－∞，－1]上是减函数．

11所以2≥2＝2，

122当x∈(－∞，－1]时，m－m＜恒成立等价于m－m＜2，结合f(m)＝m－m－2的22xx－1x图象解得－1＜m＜2.

故实数m的取值范围为(－1，2)．

517＋18．已知函数f(x)＝2x＋2axb，且f(1)＝，f(2)＝. 24(1)求a，b的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．

f(1)＝2，解：(1)因为

17f(2)＝4，f(1)＝2＋2所以根据题意得f(2)＝2＋22a＋b55＝，22a＋b17＝，4a＝－1，解得

b＝0.故a，b的值分别为－1，0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

由(1)知f(x)＝2x＋2x，f(x)的定义域为R，关于原点对称．

－因为f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

－(3)设任意x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝(2＋2)－(2＋2)＝(2－－1xx2112)＋x－x＝(2－2)·x＋x.

222x2121212x1－x1x2－x2x1x1＋x2因为x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，

所以2－2＜0，2所以2x1＋x2x1x2x1＋x2＞1，[来源:Z|xx|k.Com]

－1＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，

所以f(x)的值域为[2，＋∞)．