习题2.2第二课时 公开课

对数函数习题教案

一、教学目标

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．

二、知识梳理1．对数的定义

[来源学科网]

如果______________，那么数b叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的性质(a>0且a≠1) ①alogaN＝____；

②loga1＝____；

③logaaN＝____；

④logaa＝____. (2)对数的重要公式

①换底公式：logaN＝________________(a，c均大于零且不等于1)；

②logab＝1，推广logab·logbc·logcd＝________. logba(3)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝__________________；

M②loga＝____________；

N③logaMn＝__________(n∈R)；

n④logamMn＝logaM. m3．对数函数的图象与性质

a>1

0

图

象

(1)定义域：________性质

[来源学科网][来源学科网][来源学科网ZXXK][来源学。科。网]

(2)值域：____ (3)过点________，即x＝____时，y＝____ (4)当x>1时，______；

(5)当x>1时，______；

当0

(6)是(0，＋∞)上的__函数

当0

(7)是(0，＋∞)上的__函数

4. 指数函数y＝ax与对数函数y=logax，它们的图象关于直线______对称．

三、题型突破

题型一

对数式的化简与求值

例1

计算：(1)lg5(2) 2log32log3

变式迁移1

计算：

(1)lg22lg2lg50lg25；

(2) (log32log92)(log43log83).

题型二

含对数式的大小比较

例2

比较下列各组数的大小．

(1)log322lg8lg5lg20lg22；

332log385log53. 926与log5；

35(2) log1.10.7与log1.20.7；

(3)已知log1blog1alog1c，比较2a,2b,2c的大小关系．

222

变式迁移2

已知a213，blog211，clog1，则a,b,c的大小关系是______________．

323题型三

对数函数的图象与性质

例3

已知f(x)logax(a0,a1)，如果对于任意的x,2都有f(x)1成立，试求a的取3值范围．

变式迁移3

(1)已知函数f(x)lgx，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为______________．

(2)已知函数f(x)logax在0,上单调递增，则f(2)________f(a1)．(填写“<”“＝”“>”) 1四、针对训练

(满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．设Myy()x,x0,,Nyylog2x,x0,1，则集合M12N＝________. 2．设alog2,blog1,c2，则a,b,c的大小关系是________．

23．函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是________．

4．函数f(x)ln1ax(a2)为奇函数，则实数a________．

1ax5．已知函数f(x)axlogax(a0,a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为________．

x0log2x,6．若函数f(x)log(x),x0，若f(a)f(a)，则实数a的取值范围为______________．

127．对任意实数a,b，定义运算“*”：a*b域为________．

8．下列命题：

①若函数ylg(xa(ab)，则函数f(x)log1(3x2)*log2x的值b(ab)2x2a)为奇函数，则a1；

②若a0，则方程lgxa0有两个不相等的实根；

③方程lgxsinx有且只有三个实数根；

④对于函数f(x)lgx，若0x1x2，则f(x1x2f(x1)f(x2)). 22

以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共42分) 9．(14分)已知f(x)2log3x,x1,9，求yf2(x)f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．

10．(14分)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x),a0且a1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集．

11．(14分)已知函数f(x)lg(ab)(a1b0)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)在函数f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；

(3)当a,b满足什么条件时，f(x)在1,上恒取正值．

xx五、参考答案

二、知识梳理

1．ab＝N(a>0，且a≠1)

b＝logaN

a

N

2.(1)①N

②0

③N

④1

(2)①logcN

②logad

logca(3)①logaM＋logaN

②logaM－logaN

③nlogaM

3.(1)(0，＋∞)

(2)R

(3)(1,0)

1

0

(4)y>0

y<0

(5)y<0

y>0 (6)增

(7)减

4.y＝logax

y＝x

三、题型突破

例1

解题导引

在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．

解

(1)原式=2lg52lg2lg5(lg4lg5)lg222lg5(2lg2lg5)lg22

22lg2lg5lg25lg222(lg2lg5)23

(2) 原式＝log34－log3

329＋log38－3＝log3(4××8)－3＝log39－3＝2－3＝－1．

932变式迁移1

解

(1)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2. lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 33lg 25lg 35（2）原式＝lg 3＋lg 9lg 4＋lg 8＝lg 3＋2lg 32lg 2＋3lg 2＝2lg 3·6lg 2＝4.

例2

解题导引

比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．

2解

(1)∵log3

3626而log5>log51＝0，∴log3

∵0<0.7<1,1.1<1.2，

∴0>log0.71.1>log0.71.2. ∴1<，

log0.71.1log0.71.21由换底公式可得log1.10.7

作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，

如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7

2且log1blog1alog1c，∴b>a>c. 222而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c. 变式迁移2

c>a>b

解析

0log1＝1，

33222即01，所以c>a>b. 1例3

解题导引

本题属于函数恒成立问题，即对于x∈[，2]时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一3般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．

解

∵f(x)＝logax，

则y＝|f(x)|的图象如图．

1由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，

31只需|f()|≤1，

31即－1≤loga≤1，

31－即logaa1≤loga≤logaa，

31－亦当a>1时，得a1≤≤a，即a≥3；

311－当0

3变式迁移3

(1)(3，＋∞)

(2)< 解析

(1)画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．

∵01，

∴lg a<0，lg b>0. 又∵f(a)＝f(b)，

∴－lg a＝lg b

，ab＝1. 2∴a＋2b＝a＋，

a2易证μ＝a＋在(0,1)上单调递减，∴μ>3. a

即a＋2b>3. (2)∵f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，

∴a>1.∴a＋1>2. ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)

四、针对训练

1．(－∞，1] 1解析

∵x≥0，∴y＝()x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．

2当0

∴M∪N＝(－∞，1]．

2．a>c>b

11解析

∵a＝log2π>1，b＝logπ<0,0

y＝lnt是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t>0的限制．t33＝4＋3x－x2的单调递减区间为[，＋∞)，当x≥4时，t≤0，所以区间[，4)符合题意．

224．－2 解析

依题意有f(－x)＋f(x)＝ln即1－ax1＋ax＋ln＝0，

1－2x1＋2x1－ax1＋ax·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，

1－2x1＋2x所以a2＝4，又a≠2，故a＝－2. 5．2 解析

当x>0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．

6．(－1,0)∪(1，＋∞) 解析

①当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝log1a，

21f(a)>f(－a)，即log2a>log1a＝log2，

a21∴a>，解得a>1. a②当a<0时，f(a)＝log1(a)，f(－a)＝log2(－a)，

2f(a)>f(－a)，即log1(a)>log2(－a)＝log1221，

a1∴－a<，解得－11. －a7．(－∞，0]

1解析

在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，

2

由图象可得

logx

(0

log(3x－2)

(x>1)28．①②③

解析

①∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0. ∴lg(－x＋x2＋a)＋lg(x＋x2＋a)＝lg[(x2＋a)－x2]＝lg a＝0，∴a＝1.

②|lg x|－a＝0，∴|lg x|＝a. 作出y＝|lg x|，y＝a的图象可知，当a>0时有两个交点．

∴方程有两个不等实根．

③作出y＝lg x，y＝sin x的图象，

可知在y轴右侧有三个交点．

故方程有三个实根．

x1＋x2fx1＋fx2④对于f(x)＝lg x，如图，当0yB，即f()>. 229．解

∵f(x)＝2＋log3x，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2

2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)－3.……………………………………………………(5分) ∵函数f(x)的定义域为[1,9]，

21≤x≤9，∴要使函数y＝[f(x)]＋f(x)有意义，必须∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，

1≤x≤9，22

……………………………………………………………………………………………(10分) ∴6≤(log3x＋3)2－3≤13. 当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13. ∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.……………………………………(14分)

x＋1>0，10．解

(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则解得－10，

故所求函数f(x)的定义域为{x|－1

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]

＝－f(x)，故f(x)为奇函数．………………………………………………………………(9分) x＋1(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1. 1－x解得00的x的解集是{x|0

(1)由ax－bx>0，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋bb∞)．……………………………………………………………………………………(4分) (2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>0，bx1ax2－bx2>0，

即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．

故f(x1)>f(x2)．

所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分) 假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．

故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分) (3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)