习题2.1公开课教案

2.1.2

指数函数及其性质

1.知识与技能来源学*科*网

(1)掌握指数函数的概念、图象和性质; (2)能借助计算机或计算器画出指数函数的图象; (3)能由指数函数的图象探索并理解指数函数的性质.

2.过程与方法

(1)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程,数形结合的方法等; (2)通过探讨指数函数的底数a>0,且a≠1的理由,明确数学概念的严谨性和科学性,做一个具备严谨科学态度的人.3.情感、态度与价值观

(1)通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的兴趣,体会指数函数是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,逐步培养学生的应用意识; (2)在教学过程中,通过现代信息技术的合理应用,让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段.

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重点:指数函数的概念、图象和性质.

难点:指数函数图象和性质的发现过程及指数函数图象与底数的关系.

重难点的突破:以函数y=2x与y=的图象为切入点,分组协作,导出y=ax与y=(a>0,a≠1)图象间的关系,并由此总结y=ax(a>0,a≠1)的相关性质.教师利用多媒体课件,先演示当a变化时,图象变化的动画过程,重现指数函数的特征与性质;接着演

示当a是固定的常数,从左到右图象变化的动画过程,从而得出是增函数或减函数的性质.借助几何画板,较好的完成指数函数图象和性质的教学,突出重点的同时化解难点.

富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言

富兰克林(1706—1790)放风筝时感受到电击,从而发明了避雷针,这位著名的科学家去世后,留下的财产并不可观,大约只有1 000英镑.但令人惊奇的是,他竟然留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱!这份遗嘱是这样写的: “……1 000英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这1 000英镑,那么这笔钱应托付给一些挑选出来的公民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息,这笔钱过了100年增加到131 000英镑.我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4 061 000英镑,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理.过此之后,我可不敢多作主张了.”你认为富兰克林的设想有道理吗?为什么?[来源:Zxxk.Com][来源学科网ZXXK]

是“信口开河”还是“言而有据”呢?事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判断.

yn=m(1+a)n就是复利公式,其中m为本金,a为年利率,yn为n年后本金与利息的总和.在第一个100年末富兰克林的财产应增加到y100=1 000(1+5%)100≈131 501(英镑),比遗嘱中写的还多出501英镑.在第二个100年末,遗产就更多了: y100'

=31 501(1+5%)100≈4 142 421(英镑).可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.遗嘱的故事启示我们:在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪.

1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言!1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”,要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中,二者选取其一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以5%的年利率,在1797年起的指数效应下的产物.这一历史公案使法国政府陷入极为难堪的局面,因为只要法兰西共和国继续存在,此案将永无了结的一天.

不过,指数效应更多是应用在积极的方面,指数函数不仅在数学、物理、天文上应用极广,而且在其他自然科学甚至社会科学上也大有用场.