复习参考题全国优秀课堂实录

学习目标

1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解；2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异；3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．

[知识网络]

[知识梳理]

1．函数的零点与方程的根的关系：

(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：①借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；②通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

2．二分法

(1)图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求．

(2)用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；

(3)若要求精确度为0.01，则当|a－b|<0.01时，便可判断零点近似值为a(或b)．

3．在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．

4．函数模型

(1)给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法．

(2)建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域．

(3)所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响．

类型一

函数的零点与方程的根的关系及应用

例1

设g(x)＝e2x＋|ex－a|，x∈[0，ln 3]，其中a≤22，

(1)当a＝1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由．

(2)求函数g(x)的最小值．

解

(1)当a＝1时，设t＝ex(显然t∈[1,3])，

则h(t)＝t2＋t－1，

令h(t)＝t2＋t－1＝0，

－1＋5－1－5解得t＝或t＝都不满足t∈[1,3]，

22∴函数g(x)不存在零点．

(2)设t＝ex，则h(t)＝t2＋|t－a|(显然t∈[1,3])．

当a≤1时，h(t)＝t2＋t－a在区间[1,3]上是增函数，

所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a. 2t－t＋a

1≤t≤a，当1

t＋t－a

a

因为函数h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，

又函数h(t)在[1,3]上为连续函数，

所以函数h(t)在[1,3]上为增函数，

所以h(t)的最小值为h(1)＝a. 综上可得：当a≤1时，g(x)的最小值为2－a；

当1

1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

跟踪训练1

若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是(

) A．f(x)＝4x－1

B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex－1

答案

A D．f(x)＝ln(x－1) 11111解析

∵g(0)＝1－2<0，g()＝2＋1－2>0，g()＝42＋－2<0.∴g(x)的零点在(，)内．

242421又∵f(x)＝4x－1的零点为，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－41111)的零点为2，只有与(，)内的数的差的绝对值小于0.25，所以选A. 442类型二

用二分法求函数的零点或方程的近似解

例2

用二分法求3x2－4x－1＝0的近似解(精确度0.1)．

解

令f(x)＝3x2－4x－1，作出函数图象如图所示，

1

观察图象知方程的一根x0∈(－1,0)，另一根x0′∈(1,2)，

且f(－1)＝6，f(0)＝－1，f(1)＝－2，f(2)＝3. －1＋0若x0∈(－1,0)，取区间(－1,0)的中点x1＝

2＝－0.5，

则f(－0.5)＝1.75，所以f(－0.5)·f(0)＜0，

故x0∈(－0.5,0)．

再取区间(－0.5,0)的中点x2＝－0.25，

则f(－0.25)≈0.19，所以f(－0.25)·f(0)＜0，

故x0∈(－0.25,0)．

再取区间(－0.25,0)的中点x3＝－0.125，

则f(－0.125)≈－0.45，

所以f(－0.125)·f(－0.25)＜0，

故x0∈(－0.25，－0.125)．

再取区间(－0.25，－0.125)的中点x4＝－0.187 5，

则f(－0.187 5)≈－0.14，

所以f(－0.25)·f(－0.187 5)＜0，

故x0∈(－0.25，－0.187 5)．

又因为|0.25－0.187 5|＝0.062 5＜0.1，所以－0.187 5为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．

同理：当x0′∈(1,2)时，方程的根的近似值为1.562 5. 综上所述，方程3x2－4x－1＝0的根的近似值为－0.187 5和1.562 5. 反思与感悟

1.看清题目的精确度，它决定着二分法的结束．

2．根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．

3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．

4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．

跟踪训练2

某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)分(

) A．2次

B．3次

C．4次

D．5次

答案

C 解析

等分1次，区间长度为0.5；等分两次，区间长度为0.25；…；等分4次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意．

类型三

函数模型及应用

例3

在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数)．

(1)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；

(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率．

解

(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．

由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，

400400∴k＝，∴流量速率R的表达式为R＝r4. 8181400(2)∵R＝r4，

81400∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．

81即气体通过管道半径为5 cm时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s. 反思与感悟

一旦选定函数模型，下面的工作就是挖掘题目条件求出待定系数．

跟踪训练3

为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数1t－a关系式为y＝16(a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

10t，0≤t≤0.1，答案

(1)y＝1t1

(2)0.6 10

t>0.116解析

(1)由题意和图示知，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；

10.1－a同理，当t>0.1时，可得1＝16

1⇒0.1－a＝0⇒a＝. 101t10(2)由题意可得

<0.25，得t>0.6，即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．

161

1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是(

) A．0个

C．2个

答案

D 解析

在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D. B．1个

D．至少1个

2．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(

)

A．x1

C．x3

答案

C 3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：

x y －2

0.24

－1

0.51

0

1

1

2.02

2

3.98

3 8.02 B．x2

D．x4

则下列函数与x，y的函数关系是最接近的是(其中a，b为待定系数)(

) A．y＝a＋bx

C．y＝ax2＋b

答案

B 4．设函数f(x)＝log3

答案

(log32,1) 5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______. 答案

2

1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．

2．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

3．函数建模的基本过程如图

x＋2－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．

xB．y＝a＋bx

bD．y＝a＋

x

一、选择题

1x1．已知函数f(x)＝若实数x0是函数f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(

) 3－log2x，A．恒为正值

C．恒为负值

答案

A 1x1解析

由图象可知，当0＜x1＜x0时，3＞log2x1，即f(x1)＞0，故选A. B．等于0 D．不大于0

2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(

) A．大于0

B．小于0

C．等于0

D．无法判断

答案

D 解析

考查下列各种图象：

上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f(0)·f(4)＞0；(2)中，f(0)·f(4)＜0；(3)中，f(0)·f(4)＝0. 13．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x4＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是(

) A．f1(x)＝x

C．f3(x)＝log2(x＋1)

答案

B 1解析

在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f2(x)＝x增长的最快．

412121B．f2(x)＝x

4D．f4(x)＝log8(x＋1)

a4．函数f(x)＝x－没有零点，则a的取值范围是(

) xA．(－∞，0)

C．(0，＋∞)

答案

B 2ax－a解析

f(x)＝x－＝，其定义域为{x|x∈R且x≠0}，故a≤0. xxB．(－∞，0] D．[0，＋∞) 5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(

) 10，

A.811C.4，2

答案

C 11解析

因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f4f2＜0，所以零点11所在区间为4，2. 6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则(

) A．a＜α＜b＜β

C．a＜α＜β＜b

答案

B 解析

设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图象向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象可得α＜a＜b＜β.故选B. 1x17．已知x0是f(x)＝2＋x的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则(

) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0

C．f(x1)＞0，f(x2)＜0

答案

C 1x1解析

在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－的图象，由图象可知x1∈(－∞，x0)，2xx2∈(x0,0)，有f(x1)＞0，f(x2)＜0.故选C. 二、填空题

log2x，x＞0，8．已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实3，x≤0，11B.8，4

1D.2，1

B．α＜a＜b＜β

D．α＜a＜β＜b

B．f(x1)＞0，f(x2)＞0 D．f(x1)＜0，f(x2)＞0

数a的取值范围是________．

答案

(1，＋∞) 解析

由f(x)＋x－a＝0，

得f(x)＝a－x，

令y＝f(x)，

y＝a－x，如图，

当a＞1时，y＝f(x)与y＝a－x有且只有一个交点，

所以a＞1. 9．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．

答案

0.75(或0.687 5) 解析

因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，

所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．

10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

答案

[－1,1]

解析

分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件为b∈[－1,1]．

三、解答题

11．设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2. (1)求f(x)；

(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．

解

(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，所以函数图象过点(－3,0)、(2,0)，

所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①

4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②

①－②得b＝a＋8.③

③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0. 因为a≠0，a＝－3，所以b＝a＋8＝5. 所以f(x)＝－3x2－3x＋18. 131x＋2＋18，(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，

242所以f(x)min＝f(1)＝12，

f(x)max＝f(0)＝18，

所以函数f(x)的值域是[12,18]．

12．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：

①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；

②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；

③每户每月的定额损耗费a不超过5元．

(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；

(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：

月份

一

二

三

用水量(立方米)

4

5

2.5

水费(元) 17 23 11 试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．

解

(1)依题意，得

9＋a，0＜x≤m，

①y＝

9＋nx－m＋a，x＞m，

②

其中0＜a≤5. (2)因为0＜a≤5，

所以9＜9＋a≤14. 由于该家庭今年一、二月份的消费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．

x＝4，x＝5，将和分别代入②，

y＝17y＝2317＝9＋n4－m＋a，

③得

23＝9＋n5－m＋a.

④

③－④，得n＝6. 代入17＝9＋n(4－m)＋a，

得a＝6m－16. 又三月份用水量为2.5立方米，

x＝2.5，若m＜2.5，将代入②，

y＝11

得a＝6m－13，

这与a＝6m－16矛盾．

所以m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．

x＝2.5，将代入①，得11＝9＋a，

y＝11

a＝6m－16，a＝2，由解得

11＝9＋a，m＝3.

所以该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2. 13．已知函数f(x)＝mx2－3x＋1的零点至少有一个大于0，求实数m的范围．

1解

①当m＝0时，由f(x)＝0得x＝，符合题意，

3②当m≠0时，

9(ⅰ)由Δ＝9－4m＝0，即m＝，

42令f(x)＝0解得x＝，符合题意；

39(ⅱ)Δ＞0时，即9－4m＞0，m＜. 4设f(x)＝0两根x1、x2且x1＜x2，

93若0＜m＜，则x1＋x2＝＞0，

4m1x1·x2＝＞0，

m即x1＞0，x2＞0，符合题意，

3若m＜0，则x1＋x2＝＜0，

mx1·x2＜0，

即x1＜0，x2＞0(合题)，

99－∞，. 综上m≤，即m的范围为44