习题1.2优秀获奖教案

函数及其表示练习题含详细答案解析

1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？

332（1）f（x）=x，g（x）=x；

x0,1|x|1x0;

（2）f（x）=x，g（x）=（3）f（x）=2n1x2n1，g（x）=（2n1x）2n－1（n∈N*）；

（4）f（x）=x2x1，g（x）=x2x；

2（5）f（x）=x－2x－1，g（t）=t－2t－1。

332解：（1）由于f（x）=x=|x|，g（x）=x=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；

x0,1|x|1x0;（2）由于函数f（x）=x的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，

∴f（x）=2n1x2n1=x，g（x）=（2n1x）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；

（4）由于函数f（x）=xx1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数

注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

2、求下列函数的值域：

2（1）y3xx2；（2）yx6x5；（3）22y3x1x2；

（4）yx41x；（5）yx1x；（6）y|x1||x4|；

2x2x22x2x11y2y(x)xx1；2x12；

（7）（8）

1

解：（1）（配方法）212323y3x2x23(x)261212，

[23,)y3xx212∴的值域为

（2）求复合函数的值域：

2x6x5（0），则原函数可化为y

设22x6x5(x3)44，

又∵∴04，故2[0,2]，

∴yx6x5的值域为[0,2]

（3）（法一）反函数法：

y3x12x1yx3，其定义域为{xR|x3}，

x2的反函数为y∴原函数3x1x2的值域为{yR|y3}

y3x13(x2)773x2x2x2，

（法二）分离变量法：77033x2x2∵，∴，

y∴函数3x1x2的值域为{yR|y3}

2（4）换元法（代数换元法）：设t1x0，则x1t，

∴原函数可化为y1t4t(t2)5(t0)，∴y5，

∴原函数值域为(,5]

注：总结yaxbcxd型值域，

变形：yaxbcxd或yaxbcxd

（5）三角换元法：

2∵1x01x1，∴设xcos,[0,]，

22222ycossin2sin(则4

)2

∵[0,]，∴52[,]sin()[,1]444，∴42，

，

2sin(∴4)[1,2]∴原函数的值域为[1,2]

2x3(x4)y|x1||x4|5(4x1)2x3(x1)（6）数形结合法：，

∴y5，∴函数值域为[5,)

2（7）判别式法：∵xx10恒成立，∴函数的定义域为R

2x2x2y22(y2)x(y1)xy20 ①

xx1由得：①当y20即y2时，①即3x00，∴x0R

2y20y2(y2)x(y1)xy20恒有实根，

xR②当即时，∵时方程22(y1)4(y2)0，

∴△∴1y5且y2，

∴原函数的值域为[1,5]

2xx1x(2x1)1111xx2x12x12x12x122，

2y12（8）x∵11x02，∴2，

1111x22(x)22x12(x1)22∴122，

x当且仅当1122x1x2时等号成立

2时，即y2∴12，

1[2,)2∴原函数的值域为

3

3、求函数的解析式

11f(x)x33xx，求f(x)；

（1）已知2f(1)lgxx（2）已知，求f(x)；

（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；

12f(x)f()3xx（4）已知f(x)满足，求f(x)；

1111f(x)x33(x)33(x)xxxx，

解：（1）配凑法：∵3f(x)x3x（x2或x2）；

∴221txt1，

（2）换元法：令x（t1），则f(t)lg∴22f(x)lg (x1)t1，x1；

（3）待定系数法：设f(x)axb(a0)，

则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，

∴a2，b7，

∴f(x)2x7；

12f(x)f()3xx（4）方程组法： ①

1132f()f(x)xx ②，

把①中的x换成x，得①2②得3f(x)6x1x。

3x

f(x)2x∴

4