习题3.1教学实录

§4.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

（一）知识与技能：

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系. 2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

（二）过程与方法：

自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．

（三）情感、态度、价值观：

在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值. 教学重难点：

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．

难点：探究发现函数零点的存在性. 教学过程设计

（一）回顾旧知，发现问题

问题1 求下列方程的根．

（1）3x20；

（2）x5x60；

问题2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

方 程

函 数

函 数

图 象

（简图）

方程f(x)0的实数根

2x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

函数yf(x)的图象与x轴的交点

问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax函数2bxc0(a0)及相应的二次图象与x轴 的交点

yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

方

程

的

根

函数的图象

（简图）

ax2bxc0

(a0)

0

0

0

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：

辨析练习：函数yx22x3的零点是：（ ）

A．（-1，0），（3，0）；

B．x=-1； C．x=3； D．-1和3．

2、等价关系：

变式练习：

求下列函数的零点

（1）f(x)x5x6； （2）f(x)21 （3）：y（四）分组讨论，探究结论（零点存在性）

问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

（1）观察二次函数f(x)x22x3的图象：

1

在区间[2,1]上有零点______；f(2)_______，f(1)_______,f(2)·f(1)_____0（＜或＞）○．

2

在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）○．

（2）观察下面函数yf(x)的图象

2x1； x

1

在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）○．

2

在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）○．

3

在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）○．

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是

（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是

（相同／互异）

由以上探索，你可以得出什么样的结论？

讨论：（1）从这一结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？

（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？

（3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？

（4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？

（5）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

（6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数是唯一的呢？

变式训练

1.若函数yf(x)在区间a,b上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是

(

) A．若f(a)f(b)0，则不存在实数ca,b，使得f(c)0

B．若f(a)f(b)0，则存在且只存在实数ca,b，使得f(c)0

C．若f(a)f(b)0，则有可能不存在实数ca,b，使得f(c)0

D．若f(a)f(b)0，则有可能不存在实数ca,b，使得f(c)0

2. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x

f(x)

1 6.1 2 2.9 3 -3.5 那么函数f(x)一定存在零点的区间是

（

）

A．,1

B．1,2

C．2,3

D．3,

3. 若函数f(x)x2axb的零点是2和-4，则a=

,b=

. （五）观察感知，例题学习

试一试：你能判断出方程

lnxx3

实数根的个数吗？

六）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系

函数Y=f(x)的零点 函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标

方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

课后思考．求函数f(x)2x的零点个数。

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