习题2.1教学设计(第一课时)

2018年高考数学讲练测

第二章

函数与基本初等函数Ⅰ

第3节 函数奇偶性与周期性

湖北省黄石市第三中学 彭伟

【考纲解读】

考

点

考纲内容

五年统计

分析预测

2015新课标2，1.判断函数的奇偶性文

与周期性

2014课标Ⅰ，文2.备考重点：

函数的奇偶性与周期性

结合具体函数,了解函数奇偶性与周期性的含义. 5 2016丙卷文16 2016乙卷理7 (1) 抽象函数的奇偶性与周期性；

(2)利用奇偶性与周2017课标1，文期性求参数取值范围。

8 2017课标II，文14 【知识清单】

1.函数的奇偶性

奇偶性

偶函数

定义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－图象特点

关于y轴对称

奇函数

对点练习

f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

【2017·西安铁中月考】下列函数为奇函数的是(

) A.y＝x C.y＝cos x 【答案】D 【解析】A，B中显然为非奇非偶函数；C中y为偶函数. cosx

B.y＝e

D.y＝e－e

x－xx()－x＝e－e＝－(e－e)＝－fxD中函数定义域为R，又f，∴y＝－ee为奇函数. －xxx－xx－x2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 对点练习

设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈上的偶函数，那么a＋b的值是(

) A.－13 【答案】B 【解析】依题意b＝0，且2，∴a＝a＝－(a－1)B.13 C.12 D.－12

11，则ab＝. 332【1-3】(2017·佛山质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

) A.y＝x＋sin 2x C.y＝2＋12x 【答案】D x

B.y＝x－cos x

D.y＝x＋sin x

2【1-4】已知函数f(x)对一切x,yR，都有f，则f(x)为

(xy)f(x)f(y)

(

) A．偶函数

B．奇函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

【答案】B 【解析】显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．

0fxf(x)xf(x)0令y，又∵f(0，即)0，∴f＝－x，得ff(－x)＝－fx．∴

f(x)是奇函数，故选B．

【领悟技法】

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断fx与fx是否具有相等关系或者相反关系. x＋f(－x)＝0在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (奇函数)

或

fx-f(－x)＝0 (偶函数)是否成立. 【触类旁通】

【变式一】判断下列函数的奇偶性：

2x2,x0,2lg(1x)（1）f(x)； （2）f(x)0,x0,

x22x22,x0,【答案】（1）f(x)为奇函数；(2) f(x)为奇函数

21x0,【解析】(1)由x220,，得定义域为(－1,0),10，22lg(1x)lg(1x)．

f()x(x2)2x2lg(1x)∵f(x)f()x．∴f(x)为奇函数．

x(2) f(x)的定义域为R，关于原点对称，

(－x)＝－(－x)－2＝－(x＋2)＝－fx当x0时，f；

22(－x)＝(－x)＋2＝－(－x－2)＝－fx当x0时，f；

220，也满足f(－x)＝－fx当x＝0时，f0＝．

故该函数为奇函数．

xx【变式二】【2017北京，理5】已知函数f(x)3()，则f(x)

13（A）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 【答案】A （B）是偶函数，且在R上是增函数

（D）是偶函数，且在R上是减函数

11xx【解析】f，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，x3fx3331

是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 3考点2 函数奇偶性的性质及应用

xxx2xa【2-1】已知定义域为R的函数fxx1是奇函数，求a,b的值．

2b

【答案】a1

b2析】【解fxfx,xx2a2axx121b2b，

1xxx1x, 2b2a2ba242ab0a1xxxx，b2a．

42abb22a22a2b2b22ab【2-2】2017广东梅州模拟若函数f(x),gx()分别是R上的奇函数、偶函数，且满足x，则有(

) f()xg()xe2f3g00f3f2A．f B．g

2g0f30f2f3C．f D．g

【答案】D

RR【2-3】【2017辽宁沈阳东北育才学校模拟】若函数fx函数gx是奇函数，xx是偶函数，则

A. 函数fxgx是奇函数 B. 函数fxgx是奇函数

C. 函数fgx是奇函数 D. gfx是奇函数

【答案】B RR【解析】若函数fxx是奇函数，函数gxx是偶函数，对于选项A.设

2fxxg,xx，则函数fxgx为非奇非偶函数，对于选项B.设hxfxgx，则hxfxgxhx，故函数fxgx是奇函数，xxg,xsinx选项B正确；对于选项C.设f，则函数fgx是偶函数，故选项C2xxg,xsinx不正确；对于选项D.设f，

gfx是偶函数，故选项D不正确；2综上，正确的只有选项B,故选B. 【领悟技法】

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于fx的方程，从而可得fx的解析式．

2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用fxf(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

【触类旁通】

x2,x0

是偶函数，则f2【变式一】【2017贵州遵义四中模拟】已知函数fx{gx,x0（ ）

A. B. 11 C. D. -

22【答案】C x2,x02

是偶函数，所以f2?f2【解析】因为函数fx{

2=4

，故选C. gx,x0【变式二】若函数f(x)=x为偶函数，则a= ln(xax)【答案】1 【解析】由题知y是奇函数，所以l

ln(xax)n(xax)ln(xax)=l，解得a=1. n(axx)lna0考点3 函数周期性及综合应用

222222xfx22012【3-1】设定义在R上的函数fx满足f，若f12，则

f99________．

【答案】1006

【3-2】已知f(x)是R上的奇函数，对xR都有fx成立，若(4)fx()f(2)，则f(2f(1)2013)等于（

）

A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013 【答案】A 【3-3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－1f（x），当2≤x≤3时，f(x)＝x，105.5则f______. ＝【答案】2.5 【解析】f(x＋4)＝fx[(＋2)＋2]＝－f(x).故函数的周期为4. 1f(x＋2)105.5＝f(427－2.5)＝f(－2.5)＝f2.5∴f. .52.5.∴f105.5＝2.5∵2，由题意，得f2. 2.53＝【领悟技法】

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝2π|ω|计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．

2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要

注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

【触类旁通】

3xfx0【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R的奇函数fx满足f，且当x3xlog27017，则f2,0时，

fx（ ）

22A. -2 B. log23 C. 3 D. log25

【答案】D 3xfx0f3xfx3【解析】因为奇函数fx满足f，所以fx，2017f1f1log5即周期为3，所以f

，故选D．

2【变式二】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(

) A.－1 【答案】C B.1 C.0 D.2 易错试题常警惕

易错典例1：若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________. 易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1. xxk2k21正确解析：∵f(，

x)xx1k22kxxx(k2)(2k)(2kx1)(1k2)()xf(x)∴f

xx(1k2)(2k)2x(k21)(21)21．

，由f可得k1，∴k(x)fx()0xx(1k2)(2k)1

答案

k温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．

易错典例2：定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间上的根的个数记为n，则n可能为

A．0 B．1 C．3 D．5 (

) ＝f(－Tf)＝00＝易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据fT，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．

0．又因为T是函数fx的一个正周正确解析：因为fx是R上的奇函数，所以f0＝期，所以

TTTTT，又f(，且f(fT＝f(－Tf)＝00＝－)f(T－)＝f()－)＝-f()，所以22222TTT0在闭区间上的根的个数为5f()0，于是可得f(－)＝f()0．所以方程fx＝222个，故选D. 答案 D 温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．

四、素养提升之方程思想求解参数值

利用奇偶性及方程思想求函数中的参数值

【典例】(2016·浙江金华模拟)若函数f(x)(

) A. x为奇函数,则实数a的值为

(2x1)(xa)123

B. C.

234

D．1

方法二：根据奇函数取特殊值求解

由已知f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，

即－1（－2＋1）（－1－a）＝－1（2＋1）（1－a），

所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝12. 方法三：根据f(x)形式特点分析

因为f(x)的分子是奇函数，所以要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数，所以1－2a＝0，所以a＝12. 方法四：根据奇函数的特点及定义域求解

因为f(x)为奇函数，且－12不在f(x)的定义域内，故12也不在f(x)的定义域内，所以12－a＝0，所以a＝12.