小结与思考优秀完整教案

第一课 实数 教学目标: 1．了解有理数、无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．

2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．

3．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．

4．了解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数．在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．

5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小．

教学重点与难点：

重点：会运用运算规律，按照规定的运算法则进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算. 难点：掌握数学思想，熟练应用各个知识点解题．

教学过程：

一、知识梳理（课前准备）

知识点一

实数的分类

1. 统称为实数，一般地实数有两种分类方式。

知识点二

实数的有关概念

2.数轴：规定了 、 、 的直线叫数轴．数轴上的点与 是一一对应．

3.相反数：到原点的距离相等且符号不同的两个数称为相反数,实数a的相反数是 ,零的相反数是 ，a与b互为相反数，则 ；

4.绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值．

___(a0)|a|___(a0)

___(a0)5．倒数：若实数a不为０，则a的倒数为 ，若ab1，则a与b互为 ．

知识点三

近似数、有效数字和科学计数法

6．科学记数法：将一个数记作a×10，其中（1≤|a|＜10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的 ；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．

7．有效数字：一个数从左边第一个 的数字起，到右边精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．

8．一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分．

知识点四

平方根、算术平方根、立方根

29．若xaa(0)，则x叫做a的 ，记做 ；正数的平方根有 个，它们互n为 ，０的平方根是 ,负数没有平方根，正数a的正的平方根叫做 ，记做a，０的算术平方根是０．

10．若x3a，则x叫做a的 ，记做 ；正数的立方根有１个正的立方根，０的立方根是０，负数的立方根是负数．

知识点五

实数的大小比较

11．比较实数大小的一般方法：

(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ．

(2)性质比较法：正数大于 ；负数小于 ；正数 一切负数；两个负数，绝对值大的数 ．

(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0则a___b，如a－b<0,则a

11 (4)倒数比较法：若＞，a＞0，b＞0，则a b．

ab(5)平方比较法：∵由a＞b＞0，可得a b，∴可以把a与b的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

知识点六

实数的运算

二、例题探讨：

例1 0333.14159;下列各数： ，，

8，0.131131113…，tan453;

11

－π，25，，无理数的个数有( ) 7 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例2 -(-2)的相反数是 ； -13的倒数是 ； -3-2的相反数是 ；

3

的倒数是 ；

的平方根是 。

3-2的绝对值是 ；

例3 (a1)

=0，则(ab)

2|b-2|=0,则(ab)2019

2019

（4）（2014呼和浩特）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（

）

A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c

解析：（1）根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣的相反数为．（2）根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．3的倒数是．（3）根据负数的绝对值等于它的相反数．解：|﹣|=．（4）先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．

解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故本选项错误；B、∵a＜b，

∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故本选项错误；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故本选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故本选项正确．故选D．

方法总结

：解决本类题的关键是弄清实数中的有关的概念，关于绝对值除了了解几何意义，还应理解“正数的

绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数”的内涵．实数与数轴问题，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此类题的关键．

跟踪练习：

3．(2014年黑龙江绥化)－2014是2014的(

)

A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根

4．（2014湖北荆门）若（

）×（﹣2）=1，则括号内填一个实数应该是（

）

A． B．2 C．﹣2 D．﹣

5．(2014蚌埠)在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是( )

A．1＋3 B．2＋3 C．23－1 D．23＋1 考点三

近似数、有效数字和科学计数法

例3 （2014湖南衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为（

）

A．2.5×10

﹣5B．2.5×10

5C

2.5×10﹣6

D．

2.5×10

﹣n6解析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解：0.000 0025=2.5×10；故选：C．

方法总结

：科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n的值时，把大数的总位数减1即为n的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0”的个数(含小数点前的那个“0”)即为n的值．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

跟踪练习：

6．近似数2.5万精确到__ __位．

7．（ 2014广西玉林市）将6.18×10化为小数的是（

）

A．0.000618

B．0.00618

C．0.0618

D．0.618 8．(2014芜湖)餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( ) A．5×10千克 B．50×10千克 C．5×10千克 D．0.5×10千克

考点四

平方根、算术平方根、立方根

例4 (1) （2014年江苏南京）8的平方根是（

）

A．4 B．±4 C． 2 D．

3109911﹣3﹣n﹣6

（2）（2014山东威海）若a=8，则a的绝对值是 ．

解析：（1）直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

解：∵，∴8的平方根是．故选D．

3（2）运用开立方的方法求解，关键是确定符号．解：∵a=8，∴a=2．

方法总结

：1．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根a本身是非3333负数，即a≥0．3．(a)＝a，a＝a．

跟踪练习：

9．(2014陕西)4的算术平方根是（

）

A．﹣2 B． 2 C．±2 D． 16 考点五

实数的大小比较

例5 （1）（2014益阳）四个实数﹣2，0，﹣A．﹣2

B．0

C．﹣，1中，最大的实数是（

）

D．1 (2)(2014河北)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是( ) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8 解析：（1）根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．

解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，∴四个实数中，最大的实数是1．故选D．. （2）479，所以a=2，b=3 方法总结：本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围． 跟踪练习：

10．（2014年江苏南京）下列无理数中，在﹣2与1之间的是（

）

A．﹣ B．﹣ C．

D．

]=1，按此规定，[﹣11．（2014新疆）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[1]= ．

考点六

实数的运算

例6 （2014湖北黄石）计算：|﹣5|+2cos30°+（）+（9﹣﹣1）+0．

解析：先分别算出每一项的值，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解：原式=5323312=11．

2方法总结：实数运算的考查是中考的必考知识, 此类题中常常结合绝对值、零指数、负指数、特殊角的三角函数值、无理数的化简等概念，牢记这些概念是解决这类问题的关键．解题时还应注意运算顺序以及运算技巧． 跟踪练习：

112．（2014浙江金华）计算：84cos452

20113．(2014东营)计算：(－1)2014＋(sin30°)＋(－135－2)－|3－18|＋8×(－0.125). 033

考点七

实数非负性质的应用

例7 （2014河北）若实数m，n

满足|m﹣2|+（n﹣2014）=0，则m+n= ．

解析：根据绝对值与平方的和为0，可得绝对值与平方同时为0，根据负整指数幂、非0的0次幂，可得答案．

解：|m﹣2|+（n﹣2014）=0，m﹣2=0，n﹣2014=0，m=2，n=2014．

22﹣10m﹣1+n0=2﹣1+20140=+1=，故答案为：．

方法总结：中考中对于非负数考查也比较多,这就需要学生掌握非负数的性质及几4种形式.常见的非负数的形式有三种：|a|，a(a≥0)，a，若它们的和为零，则每一个式子都为0．

跟踪练习：

14．（2014四川泸州）已知实数x、y满足+|y+3|=0，则x+y的值为（

）

2A．-2 B．2 C．4 D．﹣4 处理方式：以上例题及练习都是基础知识和基本技能的再现，学生自主完成练习，教师各小组巡视.完成后先由学生相互补充、交流、评价．教师适时进行有针对性的提问并指导学生总结归纳知识点和方法，反馈矫正，做到查缺补漏．例6让两名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．

设计意图：本环节设计七个有代表性的关于实数的典型考题，让学生在练习的过程中体会每种类型题解题的关键. 同时学生通过练习，自查补漏，发现问题及时解决．在解决问题的过程中掌握方法、学会学习.

三、回顾反思，提炼升华

通过本节课的复习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

学生畅谈自己的收获！

设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．同时在与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识. 四、达标测试，反馈提高

1．(2014年山东东营)

A．±3 的平方根是（

）

D． 9 B． 3 C．±9 2．（2014德州）下列计算正确的是（

）

A．﹣（﹣3）=9 B．2=3

C．﹣（﹣2）=1 D．|﹣3|=﹣3 03．（2014山东潍坊）下列实数中是无理数的是( ) 22 A．7

B．2

C．

5.15

D．sin45

－204．(2014年广东深圳)支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北．据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元.47.3亿用科学记数法表示为(

) 891011A．4.73×10 B．4.73×10 C．4.73×10 D．4.73×10

5．（2014湖北宜昌）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，下列式子中成立的是（

）

A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n

6．（2014山东临沂）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B= 1－1 07．(2014年广东深圳)计算：12－2tan60°＋(2014－1)－

3处理方式：学生用6分钟独立完成，然后反馈矫正.对于出错较多的题目重点讲解. 设计意图：限时训练

，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，

同时也可以培养学生快速准确解决问题的能力.每一道小题都各有目的，从不同的侧面考查了这节的知识点，从而达到熟练应用知识的目的．

五、布置作业，课堂延伸

必做题：完成复习指导丛书第4 页到7页内容．

选做题：1．(2014年四川达州)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图

1111由图易得：＋2＋3＋…＋n＝________. 22222．（2014甘肃兰州）为了求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则2S=2+2+2+2+…+2，因此2S﹣S=2﹣1，所以S=2﹣1，即1+2+2+2+…+2=2﹣1，仿照以上推理计算1+3+3+3+…+3板书设计：

第一讲 实数

1．知识梳理

2．范例导航

考点一：实数的分类

考点二：实数的有关概念

考点三：科学记数法与近似数、有效数字

考点四：平方根、算术平方根、立方根

考点五：实数的大小比较

考点六：实数的运算

考点七：实数非负性质的应用

影

区

投

101101231001012320142310023100234101的值是 ．

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