3.1 勾股定理教学设计及课堂实录

《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计

德惠市第二十中学

张艳

本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计教材分析

算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁．

学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，学情分析

线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误．

教

学

目

标

知识能运用勾股定理求最短路径问题

目标

学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实能力际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透目标

数学建模的思想．

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验情感数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功目标

感．

探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．

教学重点

利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，教学难点

解决实际问题．

授课类型

新授课

课时：第一课时

教具准备

多媒体课件、三角板、圆柱体、长方体

学具准备

圆柱体、长方体

教学过程

教学环节

教学内容

1.请说一说勾股定理的具体内容

2.两点之间-------最短

3.一个圆柱体的侧面展开图是复习巩固

---------------,它的一边长------------,它的另一边--------

. 4.从行政楼A点走到教学楼B点怎样走1

教学活动

学生活动

设计意图

引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．

学生回顾帮助学生勾股定理温故知新

和两点之间线段最短的知识．

引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短

的知识．

由有趣的提问：怎

类型一：圆柱体中的最短路径

实际问题1以小组为单位,研究蚂蚁在圆

B 样确定平

引入，激面上两点

柱体的A点沿侧面爬行

到B 发学生学间的最短

点的问题.．

习兴趣．

距离？立

体图形上启发学生A

的最短距把立体图

例1：如图所示，有一个圆柱

离问题如形展开成平面图何解决？

，它的高是12cm,底面上圆的

形，并用

周长等于18cm，在圆柱下底

引导学生平面图形

面的点A处有一只蚂蚁，它

寻找关键的知识来

想吃到上底面上与点A相对

点．

解决立体

的点B处的食物，沿圆柱侧

图形中最引导学生

短距离问面爬行到B点，求其爬行的

根据不同

题．注重最短路程是多少？

的条件选路径的多变式一：变式1、有一圆柱形油罐,要以A择不同的

样性，渗点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方路径．

学生审透分类讨B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周引导学生题，思考论思想．

合作探究

思考最短并作答

长是12米,高AB是5米）

使学生体距离怎么指明圆柱

会数学上体现．怎体、正方变式二：再将“高为8cm”改为“2cm”，的转化思样计算最体上的数想．

求蚂蚁爬行的最短路程．

短距离？

量和展开

通过先寻图上的数引导小结找“关键解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：

结圆柱体量之间一点”，再

中计算最一对应关找到不同短距离要系，以及路径，最类型二：正方形中的最注意的问如何利用终在直角短路径

三角形内题．

勾股定理以小组为单位,研究蚂蚁利用勾股提问：正进行计算

计算最短在正方体的A点沿表面方体由几

距离这一爬行到B点的问题.蚂

过程，使讨论：1.蚂蚁怎样沿正方体从A点爬到个面组

学生再次成？这些

G？

领悟任何面有什么2.有最短路径吗？若有，那条最短？你是关系？正

一个几何图形都是怎么确定呢？

方体怎么

2

最近？

类型三：长方体中的最短路径

如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

B小结：解决路径最短问题的依据是

．也就是将曲面或多面体展成一个

面，然后连接需求最短路径的两点，构造

三角形，用勾股定理的数学模型去解决．

解决最短路径问题四部曲

1 ．展（立体展平面）

2 ．找（找各种路径）

3 ．算（算各种路径的长度）

4 ．比（比较各种路径的长度）

类型四（拓展提高）：与物体表面和内部相关的最短路径

如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是

．

A由基本元展开？至

素“点”，少需要展

“线”，开几个

“面”构面？

成，回归

几何的本

真！

在教师引

引导学生导下，学在圆柱体思考长方的基础上生对六种体与正方提升难展开方式体有何区度，变为别？为什分析排正方体，么长方体除，最终再变为长有六种展归纳出三方体，引开方式？种方式计导学生由（长，宽，算比较得浅入深，高的组出最短距认识到要合），为解决立体离．

什么排除图形上的

后只有三最短路径

种？（重问题一定

复）

要将其展

开．渗透引导学生总结归纳分类讨论小结解决做题的步思想．

立体图形骤

上的两点

之间最短

路径问题在初二上

的步骤

学期寻找

最短路径将曲线化的问题上

引导学生直线，将提升到求将此问题此问题转最短路径与利用轴化为利用长，体现寻找最短轴对称解勾股定理路径的问决最短路是计算线题相结段长的有径问题．

合．

力手段．

3

1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的巩固练习

最短路程为

cm．

2．如图，在一个长为2m，宽为1m

的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路径是

m．

3．一盛满水的圆柱形容器，它的高等于8cm．底面半径等于3cm，在圆柱下底面上的A点有一条小鱼，它想从点A游到点B，小鱼游过的最短路程是多少？

若是蚂蚁想从点A爬到点B，最短路程是多少？（π的值取3）若把圆柱的高改为2cm呢？

4．如图所示，有一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用

秒？

5．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm，8cm，30cm．

A（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处D.C爬到C处去吃，最短路程30是多少？

B812通过配套练习加深学生对本课后完成

节课所学知识的印象和理解

3至5题

课后完

成

4

（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少? 6．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，

水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？

教学反思】

①[授课流程反思] 兴趣是最好的老师－－－学生只有对数学感兴趣，才想学、乐学，最后学会、学好．这就要求老师从“入趣点”着手，通过学生身边熟悉的问题引入，本节课的“入趣点”为“咱们学校”－－－亲切熟悉的环境，“不走寻常路”－－－学生中流行的广告词，这样做可以引起学生的情感共鸣，拉近与学生的距离，激发学生的学习兴趣. ②[讲授效果反思] 学生对知识的形成需要一个过程，甚至是几次的反复，本节课知识容量大，如果仅仅将解题过程投放在屏幕上，学生根本来不及思考，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规范学生解题的格式. ③[师生互动反思]

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