阅读与思考 集合中元素的个数评课稿

§1.1

集合与集合的表示方法

1.1.1

集合的概念

学习目标

1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4. 解集集合中元素个数的关系．

知识点一

集合的概念

元素与集合的概念

(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．

集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．

(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．

元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．

知识点二

元素与集合的关系

元素与集合的关系

关系

属于

不属于

知识点三

元素的三个特性

思考

某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？

答案

某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．

集合元素的三个特性

元素

确定性

意义

元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a∉A必居其一

语言描述

a是集合A的元素

a不是集合A的元素

记法

a∈A a∉A 读法

a属于集合A

a不属于集合A

互异性

无序性

集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b

集合中的元素是没有顺序的

知识点四

集合的分类及常用数集

1．集合的分类

空集：不含任何元素，记作∅.集合有限集：含有有限个元素；无限集：含有无限个元素.非空集合2．常用数集

名称

符号

自然数集

N

正整数集

N＋或N*

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(

√

) 2．0∈N但0∉N＋.(

√

) 3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(

×

)

类型一

判断给定的对象能否构成集合

例1

考察下列每组对象能否构成一个集合．

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)3的近似值的全体．

解

(1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

反思与感悟

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1

下列各组对象可以组成集合的是(

) A．数学必修1课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．直角坐标平面内第一象限的一些点

D．所有小的正数

答案

B 解析

A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合．

1．下列给出的对象中，能组成集合的是(

) A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．方程x2－1＝0的实数根

答案

D

2．下面说法正确的是(

) A．所有在N中的元素都在N＋中

B．所有不在N＋中的数都在Z中

C．所有不在Q中的实数都在R中

D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

答案

C 3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 4．下列结论不正确的是(

) A．0∈N

B.5∉Q

C．0∉Q

D．－1∈Z

答案

C 5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(

) A．2

C．0或3

答案

B 解析

由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

B．3 D．0,2,3均可

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A. 3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．

课时对点练

一、选择题

1．已知集合A由x<1的数构成，则有(

) A．3∈A

C．0∈A

答案

C 解析

很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则(

) A．0∈A

C．a∈A

考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

C 解析

∵A中只有一个元素a且a≠0，

∴0∉A，选项A错．

∵a为元素，A为集合，故B错误．

B．a＝A

D．a∉A

B．1∈A

D．－1∉A

由已知选C. 33．由实数x，－x，|x|，x2，－x3所组成的集合，最多含(

) A．2个元素

C．4个元素

答案

A 3解析

由于x2＝|x|，－x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．

xy4．已知x，y为非零实数，代数式＋所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确|x||y|的是(

) A．0∉M

C．－2∉M

答案

D xyxy解析

①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的|x||y||x||y|xy值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－|x||y|2,0,2，故选D. 5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(

) A．－1∉A

C．3k2－1∈A

答案

C 解析

令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A. 令3k－1＝－11，解得k＝－10∉Z，∴－11∉A；

3B．－11∈A

D．－34∉A

B．1∈M

D．2∈M

B．3个元素

D．5个元素

∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A. 令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A. 6．由不超过5的实数组成集合A，a＝2＋3，则(

) A．a∈A

1C.∉A

a考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

A 解析

a＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a∈A. a＋1<4＋4＋1＝5，∴a＋1∈A. B．a2∈A

D．a＋1∉A

a2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a2∉A. 3－211＝＝＝3－2<5. a2＋32＋33－21∴∈A. a故选A. 二、填空题

7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．

答案

1 解析

易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．

8．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；②3D∈/Q；③0∈N＋；④|－4|D∈/N＋. 答案

2 解析

∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.

9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案

6 解析

∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6. 10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是____________________．

1±5答案

x≠0,1,2，

21±5解析

由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，. 2b11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，a若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____. 答案

－1 解析

∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，

∴0∈A. b又a≠0，∴＝0，则b＝0. a∴B＝{a，a2,0}．

∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1. 由元素的互异性知，a＝－1，

∴a＋b＝－1. 三、解答题

12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．

解

由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．

37当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．

223∴实数a的值为－. 2113．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

1－a(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；

(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

解

(1)2∈A，则1∈A，

1－2

111即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，

211＋11－21即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，. 212(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，. 23a－11(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，(a≠1，且a≠0)，1－aa且三个数的乘积为－1. 证明如下：

11若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，

1－a1－aa－1a－11所以又有＝∈A且≠1，

1aa1－1－a1进而有＝a∈A. a－11－a又因为a≠11(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．

1－a1－aa－1a－11同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素，

aa1－a它们分别是a，a－11，，且三个数的乘积为－1. a1－a四、探究与拓展

14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是(

) A．{1,2,3}

C．{0,1}

答案

B 解析

由题意知：

a＋b＝1，b＋c＝2，c＋a＝3，B．{1,2} D．{0,1,2}

a＝1，解得b＝0，c＝2，

∴集合A＝{0,1,2}，

则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2. 故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.

15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：

(1)3∈A；

(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A. 证明

(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，

得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A. (2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．

①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，

所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，

所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．

所以假设不成立．

综上，4k－2∉A.