习题1.2教学设计内容推荐

第1．2

函数及其表示习题课

教学目标：

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段). 教学重点：会求函数的定义域、值域、解析式

教学难点：分段函数问题

教学过程：

一、知

识

梳

理

1.函数与映射的概念

两个集合

A，B 函数

设A，B是两个

非空数集

如果按照某种确定的对应关系对应关系

f：A→B f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

名称

记法

映射

设A，B是两个

非空集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称f：A→B为从集合A到集合称f：A→B为从集合A到集合B的B的一个函数

函数y＝f(x)，x∈A 一个映射

映射：f：A→B

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

二、典型例题分析：

考点一

求函数的定义域

【例1】

(1)(2017·郑州调研)函数f(x)＝ln A.(0，＋∞)

C.(0，1)

x＋x2的定义域为(

) x－11B.(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞) f（x＋1）(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 017]，则函数g(x)＝的定义域是x－1____________. x>0，xx－1解析

(1)要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x－1x≥0，1x2的定义域为(1，＋∞).

(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 017]，

1≤x＋1≤2 017，∴g(x)有意义，应满足

x－1≠0.∴0≤x≤2 016，且x≠1.

因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且x≠1}.

答案

(1)B

(2){x|0≤x≤2 016，且x≠1} 规律方法

求函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.

x2－5x＋6【训练1】

(1)(2015·湖北卷)函数f(x)＝4－|x|＋lg的定义域为(

) x－3A.(2，3)

B.(2，4] D.(－1，3)∪(3，6] －1的定义域为R，则a的取值范围为________. C.(2，3)∪(3，4]

(2)若函数f(x)＝2x解析

2＋2ax－a42－|x|≥0，(1)要使函数f(x)有意义，应满足x－5x＋6

>0，x－3|x|≤4，∴则2

x－2>0且x≠3，所以f(x)的定义域为(2，3)∪(3，4].

(2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立.因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.

答案

(1)C

(2)[－1，0] 考点二

求函数的解析式

2【例2】

(1)已知fx＋1＝lg x，则f(x)＝________. (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________. 1(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2fx·x－1，则f(x)＝________. 22解析

(1)令t＝x＋1(t>1)，则x＝，

t－1∴f(t)＝lg22，即f(x)＝lg(x>1).

t－1x－1(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝2，得c＝2，

f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，

则2ax＋a＋b＝x－1，

1a＝2，2a＝1，∴即

3a＋b＝－1，b＝－2.

123∴f(x)＝2x－2x＋2.

1(3)在f(x)＝2fx·x－1中，

11将x换成x，则x换成x，

11得fx＝2f(x)·x－1，

1x·x－1，f（x）＝2f由

11f＝2f（x）·xx－1，21解得f(x)＝3x＋3.

答案

(1)lg21321(x>1)

(2)2x2－2x＋2

(3)3x＋3

x－1规律方法

求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

1(3)构造法：已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).

(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. 【训练2】

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. (3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________. 解析

(1)令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得

f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，

所以f(x)＝x2－1(x≥1).

(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，

11由已知f(x)＝2f(x＋1)＝－2x(x＋1).

(3)当x∈(－1，1)时，

有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①

将x换成－x，则－x换成x，

得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②

由①②消去f(－x)得，

21f(x)＝3lg(x＋1)＋3lg(1－x)，x∈(－1，1).

1答案

(1)x2－1(x≥1)

(2)－2x(x＋1) 21(3)3lg(x＋1)＋3lg(1－x)(－1

分段函数(多维探究) 命题角度一

求分段函数的函数值

1＋log2（2－x），x<1，【例3－1】

(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x－1

2，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝(

) A.3

B.6

C.9

D.12 解析

根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，

∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，

因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.

答案

C 命题角度二

求参数的值或取值范围

3x－b，x<1，【例3－2】

(1)(2015·山东卷)设函数f(x)＝x

2，x≥1.5若ff6＝4，则b＝(

) A.1

7B.8

3C.4

1D.2

ex－1，x<1，(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝1则使得f(x)≤2成立的x的取值范围3x，x≥1，

是________. 555解析

(1)f6＝3×6－b＝2－b，

53若2－b<1，即b>2时，

555则ff6＝f2－b＝32－b－b＝4，

7解之得b＝8，不合题意舍去.

5531若2－b≥1，即b≤2，则22－b＝4，解得b＝2.

(2)当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，所以x<1.

1当x≥1时，x3≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.

综上可知x的取值范围是(－∞，8].

答案

(1)D

(2)(－∞，8] 规律方法

(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒

当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. x－12－2，x≤1，【训练3】

(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝

－log2（x＋1），x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(

) 7A.－4

5B.－4

3C.－4

1D.－4

x＋1，x≤0，(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝2

－（x－1）2，x>0，则不等式f(x)≥－1的解集是________. 解析

(1)当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，

即2a－1＝－1，不成立，舍去；

当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，

即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，

7此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－4.故选A.

x(2)当x≤0时，由题意得2＋1≥－1，

解之得－4≤x≤0.

当x>0时，由题意得－(x－1)2≥－1，

解之得0

综上f(x)≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}.

答案

(1)A

(2){x|－4≤x≤2} 三、课堂总结：

[思想方法] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同. 2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识. 3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解. [易错防范] 1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混. 2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数. 3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.