3.1.2 指数函数优质公开课教案

指数函数及其性质

----基于核心素养视角下的高效课堂教学设计 当前，世界各国教育聚焦于发展学生核心素养，我国学生的核心素养与学科核心素养的培养战略已经正式启动。课堂作为学生学习的主阵地，是学生数学学科核心素养塑造与形成的主要渠道。如何在数学课堂教学中培养学生数学学科素养是我们一线教师思考的问题。数学素养是指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、数学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性、品质等等。本节课围绕用数学的眼光观察世界，从数学角度提出问题，用数学的方法解决问题为主线，抓住学习的时代特征——问题意识、建立联系、个性化表达，处理好激发兴趣、善于引导、加强互动等的关系，从而在课堂教学中落实核心素养。

1 教材分析

本节课是苏教版数学必修1 第二章 2.1.2 指数函数及其性质第1课时的内容。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用打下坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的.它对知识起到了承上启下的作用。

2 学情分析

指数函数是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数性质的基础上进行学习的，具有初步的函数知识,但是对于研究具体的初等函数的性质的基本方法和步骤还比较陌生,对于指数函数要怎么样进行较为系统的研究是学生要面临的重要问题，容易对指数函数的学习产生畏难情绪。因此，有必要从具体的、形象的问题入手引入。把学生刚刚学习的函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，作为本节内容学习的最近发展区。

3 教学目标

3.1 知识与技能:

⑴了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象性质.

⑵初步学会运用指数函数解决问题．

1

3.2 过程与方法：

引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是0a1，a1的性质。

3.3 情感、态度、价值观：

使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神，从而形成良好的数学学科核心素养. 4 教学重点与难点

4.1 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

4.2 教学难点：如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

5 教法：

本节课我采用问题探究和引导发现式的教学方法，并充分利用多媒体辅助教学。通过教师在教学过程中的点拨，让学生成为学习的主人，自己动手操作、自主探究、主动思考来达到对知识的发现和接受，加深对所得结论的理解

6 教学资源准备

利用软件《几何画板》让学生自主探索的形与数的多元联系。表示指数函数图像和性质，结合多媒体教学课件增强直观性，增大课堂容量。来帮助学生理解指数函数的性质。

7 教学过程：

7.1定义的建构

7.1.1创设情境 感知定义

问题1：“叠纸厚度问题”难倒网友

“假设一张纸的厚度为1mm，这张纸足够大，可以让你不停地对折下去，当你把这张纸对折到51次的时候，它所达到的厚度是多少呢？”不少网友看到这个问题时，下意识地会说，这有什么难的，还能有一个人高？有些谨慎的网友看到这个问题，意识到不会太简单，就往大了猜：一层楼？一幢大厦？

他们猜错了吗？

1、请同学们研究对折后纸的层数y与对折的次数x之间满足的关系。

生：y与x之间的关系式，可以表示为y2x （xN）

2

2、研究对折后纸的面积y与对折的次数x之间满足的关系

1生：y()x（xN）

2

问题2：（从最近环境治理中最热点话题引入，要研究江苏未来几年空气质量情况必需学好指数函数引入课题）江苏空气中PM2.5含量每年均递增5%，设2016年空气中PM2.5含量为1，从2016年开始，记x年后如果不治理的话江苏空气xy1.05中PM2.5含量为y，试写出y与x满足的关系式。

（设计意图：

在教学活动中如何拉近数学与生活的关系,让学生感受到数学来源于生活,体验数学在生活中的应用,就是要把生活情境引入课堂，先从学生熟悉的生活学习背景中找到指数函数生活的原型，要想解决目前面临的问题必需学好指数函数。让学生感受所学内容的自然性与必要性。给学生一双“生活的眼睛”，让他们感到“数学有趣”、“数学有理”、“数学有用”。引导学生用数学的眼光发现问题，激发学生学习兴趣，把学生引入到知识探索的活动中。从而养成数据处理、数学建模等数学素养。）

7.1.2 观察归纳 形成定义

问题3：让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：

x1①y2x、y()x、y1.05这三个解析式有什么共同特征？

2②是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成yax的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

（设计意图：以生活中的事例为载体，从事例中抽象出特例指数函数，引导学生分析这些特例指数函数共同本质属性，最后“水到渠成”归纳出指数函数的概念，让学生经历概念的生成过程，养成抽象概况，归纳等数学素养。）

3

7.1.3辨析讨论 深化概念

问题4：为什么要规定指数函数中

a>0，且a≠1？

对于底数的分类，可将问题分解为：

①若a0会有什么问题（如a2，x②若

③若

1则在实数范围内相应的函数值不存在）

2会有什么问题？（对于x0

，ax都无意义）

又会怎么样？（无论

取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）

且

. 为了避免上述各种情况的发生,所以规定

问题5：

（1）下列函数哪些是指数函数? (1) y=x2 (2) y=(-2)x (3) y=2-x (4) y=2 · 3x (5) y=3x+1

（2）已知函数y=(a2-3a+3).ax

是指数函数，求实数a的取值. (设计意图：引导学生分析概念关键词的含义，对概念的内涵进行“深加工”，让学生对概念的正面和反面进行进一步探究，更准确把握概念的细节。通过辨析讨论，学生就完成对指数函数彻底的认识，养成学生的探究、分类讨论等数学素养。）

7.2 性质的探索

有了指数函数的定义，为了更深入研究指数函数下面我们探索指数函数的性质

问题6：

①你打算如何研究指数函数的性质？

②研究函数（比如今天的指数函数）可以研究什么？怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？制作研究指数函数性质的方案。

指数函数的图象是怎样的呢？先看特殊例子（将同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图象）

画出，

的图象

（设计意图：通过类比前面学习过的函数研究方法，对指数函数性质的研究有一个整体认识，引导学生回忆函数性质包括哪些，怎样去研究，用什么方法研究，从而为后续函数研究中能够“见木见林”，给学生提供基本思想方法，让学生自

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己去动手，增强学生学习的主动性。养成学生类比，抽象概况等数学素养。）

7.2.1 分析图像 猜想性质

及时指导学生作图（列表－描点－连线），然后观看已经做好的几何画板上的函数图象，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。引导学生猜测图形特点并通过几何画板验证学生猜测，将具体指数函数升华为一般指数函数，学习对底的分类讨论的思维方式，从而达到了重点的突破。）

（设计意图：猜想是一种跳跃式的创造性思维，从学生学习角度上理解，是

指学生利用原有的认识结构与知识经验，直接进行有目的、有方向的猜测与判

断。鼓励学生敢于猜想，养成学生探索与创造数学素养。）

7.2.2 动手操作 确定性质

利用几何画板，来验证学生发现的性质，根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？然后进行整理

函数

图

象

性

定义质

域

R

0a1

1y()x21y()x3y3xy2xa1

R

5

值域

定点

单调性

其它

0,

0,1

在,上是减函数

0,

0,1

在,上是增函数

（设计意图：我们在教学中，时常遇到学生对一些抽象的性质、定理等难以领会，无法直接推理的问题，教学中往往也不容易突破。因此，借助几何画板，通过模拟动画，变静为动，创设形象、直观、逼真、生动的教学情境，把抽象、枯燥、难以讲解的数学概念、定理，通过引导，帮助学生理解、分析和解决问题。从而感到具体、形象、有趣，形成观察-猜想-验证的知识生成过程，从而突破教学中的难点。）

7.2.3 性质应用 质疑反思

例1：比较下列各组数中两个值的大小（1）1.52.5，1.53.2；（2）0.51.2，0.5-1.5；（3）1.50.3，0.81.2【总结】：比较两个指数幂大小

1.比较两个同底数幂的大小，通常是构造一个指数函数，并考察其单调性。

2.比较两个不同底数幂的大小，可以找一个“中间值”来过渡，“1”是一个常用的“中间值”，即构造两个指数函数，并利用他们单调性求解。

7.2.4

联系生活 学以致用

1、假如把你们昨天的学习成绩看成整体1，而你从今天开始起，每天学习多用一些时间争取学习成绩是前一天的1.02倍，这样你们坚持一年，即坚持365天，那么你们知道你们的学习成绩是昨天的多少倍了吗？那就让我们来算一算吧：

3651.021370

2、但是如果从今天开始起，你们每天玩耍浪费一些时间而导致学习成绩下降为前一天的0.98倍，这样你们坚持一年，即坚持365天，那么你们知道你们的学习成绩是昨天的多少倍了吗？那也让我们来算一算吧：

0.983650.006

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（设计意图：“数学要源于现实，扎根于现实”，这是荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出的“数学现实”的教学原则。数学学习要从实践中来，到实践中去，不断拓宽学生的生活空间，让学生到课外广阔的天地去运用自己所学到的知识，并学会用数学的思维方式去观察分析社会现实，努力提高综合应用知识解决实际问题的能力，以实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程要求。）

8.1 课堂小结 8.1知识点上：

（1）学习了研究具体函数的方式； （2）学习了指数函数的图象与性质. 8.2思想方法上：

（1）特殊→一般→特殊；（2）分类讨论；

（3）数形结合 . （4）猜想、验证

8.2 课堂作业

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