阅读与思考 集合中元素的个数公开课教案

第1讲

数列的概念与简单表示法

【学情分析】

1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想．

2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．

3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等．

【学习目的】

1．高考试题主要以数列的概念、通项公式的求法为主，因此要把握好由关系式求通项公式的方法．

2．对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后，再验证对前几项是否适合，进而推广．

3．能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质，如单调性、周期性等，并能利用性质解题．

基础梳理

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的分类

分类原则

按项数分类

类型

有穷数列

无穷数列

递增数列

按项与项间的大小关系分类

递减数列

常数列

有界数列

按其他标准分类

摆动数列

满足条件

项数有限

项数无限

an＋1＞an

an＋1＜an

an＋1＝an

存在正数M，使|an|≤M

an的符号正负相间，如1，－1，1，－1，…

其中n∈N＋

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法、和解析法．

解析

根据数列的前4项验证．

答案

B 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为(

)．

A．30

B．31

C．32

D．33 解析

a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案

B 3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(

)．

A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．不确定

解析

∵an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3＞0，∴an＋1＞an. 故数列{an}为递增数列．

答案

A 4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(

)．

A．15

B．16

C．49

D．64 解析

由于Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式．

∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15. 答案

A 5．(2012·泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值为________．

解析

观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和．

答案

21

考向一

由数列的前几项求数列的通项

【例1】►写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，…；

1371531(2)2，4，8，16，32，…；

31313(3)－1，2，－3，4，－5，6，…；

(4)3,33,333,3 333，…. [审题视点] 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．

解

(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. 2n－1(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列222，2，…，所以an＝2n. 1,2,34(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为2＋－1n3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)·n. n1－n，n为正奇数，也可写为an＝3n，n为正偶数.

9999999 999(4)将数列各项改写为：3，3，3，3，…，

1分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以an＝3(10n－1)．

根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．

【训练1】

已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：

1－－1n1＋－1n1－cos nπ2nπ①an＝；②a＝；③a＝sin；④a＝.其中可以作nnn2222为数列{an}的通项公式的有________(填序号)．

答案

①③④

考向二

由an与Sn的关系求通项an

【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________. [审题视点] 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解．

解析

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1

＝2也满足an＝2·3n－1. 故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1. 答案

2·3n－1

S1，n＝1，数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1S－S，

n≥2.nn－1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

【训练2】

已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．

解析

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

2，n＝1，故数列的通项公式为an＝

6n－5，n≥2.2，n＝1答案

an＝

6n－5，n≥2考向三

已知数列的递推公式求前几项或通项公式

【例3】►根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．

(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；

n－1(2)a1＝1，an＝nan－1(n≥2)；

(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an. [审题视点] (1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．

解

(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

an＋1＋1∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，

an＋1又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. n－1n－21(2)∵an＝nan－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝2a1.以上(n－1)个式子相乘n－1得

n－1a1112an＝a1···…·23n＝n＝n. (3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，

n3n＋1∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，213na1＝2×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝2n2＋2. 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当an出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．

an－1【训练3】

根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．

(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；

1(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋n. 解

(1)∵an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2，

an－2＝an－3＋3n－3，

…

a2＝a1＋31，

以上(n－1)个式子相加得

an＝a1＋3＋3＋…＋312n－1＝1＋3＋3＋…＋32n－13n－1＝2. 1(2)∵an＋1＝an＋ln1＋n，

n＋11∴an＋1－an＝ln1＋n＝lnn，

n－1n∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，

n－1n－2…

2a2－a1＝ln1，

以上(n－1)个式子相加得，

n－1n2∴an－a1＝ln＋ln＋…＋ln1＝ln n．又a1＝2，

n－1n－2

∴an＝ln n＋2. 考向四

数列性质的应用

10【例4】►已知数列{an}的通项an＝(n＋1)11n(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．

[审题视点] 作差：an＋1－an，再分情况讨论．

1010109－n解

∵an＋1－an＝(n＋2)11n＋1－(n＋1)11n＝11n11. 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；

故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以数列中有最大项为第9,10项．

(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．

(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法．

【训练4】

已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？

解

(1)n＝1时，a1＝S1＝23. n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，

∴an＝－2n＋25(n∈N*)．

(2)法一

∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144. 法二

∵an＝－2n＋25，

25∴an＝－2n＋25＞0，有n＜2.∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.