3.1.2 指数函数教案设计（一等奖）

《指数函数》的教学实录与反思

南京师范大学第二附属高级中学

张晓飞

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基本情况

1.1

授课对象

学生来自江苏省扬州市某四星级重点中学，学生的数学基础、思维能力均较好，有一定的观察、猜想、概括、质疑能力，且课堂参与度较高。

1.2

授课内容分析

授课内容为苏教版必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时，学生在初中阶段已经学习过了一些基本初等函数，如正比例函数，一元一次函数，一元二次函数等，在高中阶段也已经学习了函数的概念、图象与性质，学生对研究一类函数已经有了一定的认识，不过这些认识还是表层的，尚处于感性阶段。本节课的教学目标主要有三点，一是通过数学内部发展的需要以及生活生产的需要发现研究一类新的基本函数的必要性；二是通过和学生一起经历指数函数的研究过程，让学生基本掌握研究一类新的函数的方法和思路；三是学生能够掌握指数函数的图像及其简单应用。

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教学过程

2.1

创设情境，引出概念

师：同学们，从初中到现在，我们学习研究过哪些常见的初等函数？

生1：一次函数，形如：ykxb(k0)；一元二次函数，形如yax2bxc(a0)。

k(k0)。生2：还有正比例函数，形如ykx(k0)；反比例函数，形如y

x师：还有吗？（停顿3秒）同学们还想学习新的类型的初等函数吗？

生（齐答）：想！

师：好，让我们一起走进生活，看看生活中的函数。（投影情境问题）

[情境问题1]

某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果细胞分裂x次，相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量的关系？

[情境问题2]《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。 [情境问题3]

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%．如果经过x年，该物质剩余的质量为y，如何描述这两个变量的关系？

学生小组合作分析，找到两个变量之间的函数关系，并得到y2x(xN*)、

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1xy()(xN*)和y0.84x(x(0,)

2师：请同学们观察这三个函数，找一找它们有什么共同特征？

生3：我认为这三个函数的共同点是：它们的底数都是常数，变量x都在指数位置上。

师：你还能举出类似的函数吗？

生3：能，如：y3x，y10x，y0.2x，…

师：请同学们再次观察这几个具体的函数表达式，你能归纳出这一类函数的一般形式吗？

生4：yax。

ax

，称为指数函数。

师：很好，这类函数也正是我们今天要研究一类新的函数。

引出课题，并板演定义：一般地，函数y师：请同学们类比以前学过的初等函数，思考指数函数的定义是不是缺了点什么？

生5：好像，似乎底数a也应该有要求。对了，a不能等于1，如果a等于1，函数值始终等于1，就没有研究的必要了。

师：很好，还有没有同学补充？

生6：a也不能等于0，a等于0，也没有必要研究了。

生7：我觉得a也不能取负数，如果a取负数，那么x就会有好多的值不能取了，譬111如a2，那么y(2)，x取,,等等值时，函数就没有意义了。这246x样函数的定义域就会断断续续的了，就很不方便研究。

师：同学生说的很好，a0,a1时没有必要研究，a0时，又很不方便研究。0且a1，此时它的定义域就为R. 所以我们规定指数函数的底数a2.2

学生活动，构建数学

师：我们定义了一类新的函数，下面就该研究这类函数了。请同学们回忆以前研究函数的过程，思考一下我们要研究这类函数的什么呢？

生8：应该要研究这类函数的图像和性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等。

师：又应该怎么样研究呢? 生9：可以先用描点法画出大致图像，再由图像观察猜想出函数的一些性质，最好再用代数方法对所猜想的性质作个验证。

师：同学们的发言非常精彩！我们现在面临的首要问题就是画出这类函数的大致图像，进而观察、猜想出性质，再尝试代数论证。那么，同学们，你能画出这类函数的图像吗？

生10：好像不能画图。

师：为什么？

生10：因为底数不定，这类函数有无数多个,没办法画。

生11：我们可以从特殊到一般，可以先画几个试试，然后猜想一下这类函数的大致图像。

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师：非常好，下面就请同学们自主选取一个底数a，尽量不要和周围同学相同，画出你所选取的函数的图像，并根据图像猜想出指数函数具有哪些性质。

自主探究，展示交流。

3分钟之后

生12：（实物投影其所作y3x图像）我画得是y3x的图像，我感觉指数函数具有以下性质：1、x可以取所有值；2、图像都在x轴上方；3、在定义域内为单调的增函数。

师：还有没有同学有所补充？

生13：（实物投影其所作y5x图像）我画得是y5x的图像，我的想法基本和生12一样，不过我还发现指数函数是非奇非偶函数，还有我发现我画得图像也过(0,1)点，我猜想指数函数是不是都过点(0,1)。

师：还有没有同学有其它想法的？

生1x1x14：（实物投影其所作y()图像）我画得是y()的图像，我发现图像22也在x轴上方，也过(0,1),但是我的图像在定义域内是单调递减的。

师：（将生13,与生14的图像一起对比投影）请同意生13意见的同学举手，并请你说出你所选择的底数a的值。

7大部分学生举手，教师板演其所列举出的底数值：2,3,5,8，12，3.5，,

3师：再请同意生14意见的同学举手，并请你说出你所选择的底数a的值。

11少部分同学举手，教师板演其所列举出的底数值：

,,0.3,0.8,

32师：通过同学们的展示和交流，请同学们归纳一下指数函数有哪些确定的性质？又有哪些性质是不确定的？

生15：确定的有：1、指数函数的定义域为R；2、值域是(0,)；3、都过点(0,1)；4、都是非奇非偶函数并且没有周期性。指数函数的单调性因为底数的变化会有两种情况。

师：请同学们再次观察黑板上底数a的不同取值，函数单调性的不同，猜想a在什么范围时时，函数在定义域内单调递增？a在什么范围时，函数在定义域内却是单调递减的？

生16：我猜想底数a1时，函数在定义域内单调递增，0a1时，函数在定义域内单调递减。

师：你能验证你的猜想吗？

教师利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a

动态连续变化时，让学生观察函数图像的变化特征，归纳确定：yax的图像与性质。

3

2.3

数学应用，强化新知

师：现在我们了解了指数函数的定义和性质，它们有什么用处呢？请同学们一起看看例1。（投影例1）

【例1】比较下列各组数中两个值的大小：

（1）1.52.5,1.53.2 （2）0.51.2,0.51.5

（3）1.50.3,0.82.5

2.53.2因为它在(0,)单调递增，所以1.51.5

y1.5x的图像，生17：考察函数生18：考察函数y0.5x的图像，因为它在(0,)单调递减，所以0.51.20.51.5。

生19：考察函数发现0.82.5y1.5x的图像，发现1.50.31，考察函数y0.8x的图像，1，所以1.50.30.82.5。

师：我们比较两个指数幂的大小时，如果底数相同，就可以借助同一指数函数的单调性解决，如果底数不同时，我们常可以尝试找到中间量，再进行比较．

反过来，如果我们知道了两个指数幂的大小关系，也可以解决另外一些问题，请看例2.（投影例2）

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【例2】

①已知3x30.5，求实数x的取值范围；

x②已知0.225，求实数x的取值范围．

学生上黑板板演，顺利解决。

2.4

回顾反思，总结提升

师：通过本节课的学习，同学们谈谈自己有哪些收获？

生20：我的收获是学习了指数函数的概念、图像、性质，还能够用指数函数的图像和性质解决简单的数学问题。

生21：通过这节课的学习，我感到收获最大的是对于一类新函数，或者新的知识，可以尝试从特殊到一般，先从特例着手，再研究一般情况。

生22：我的收获是知道了如何研究一类新的函数，也就是要研究新的函数的内容和方法。

生23：我感觉到了学习指数函数的必要性。一是初中所学初等函数补充的必要，二是生活生产的需要。

师：同学们总结的都很好，那么对于本节课大家还有没有什么疑惑或者期待？

生24：老师，我早就想问了，我觉得我们今天得到的指数函数的性质，只是通过图像归纳出来的，老师用了动画给我们验证了，但是并没有从代数的角度进行论证，我想知道代数方法能不能证明这些性质？

生25：我感觉指数函数还有一些性质，譬如有些指数函数的图像好像是可以关于y轴对称的。我期待能继续探究指数函数的其他性质。

生26：我想有没有其它类型的函数了？期待再研究新的函数。

师：非常好，请同学们利用课后时间去探究大家的疑惑吧！

2.5

分层作业，应材施教

1、完成练习课本第54页，习题2.2（2）：1,2,3,4；

2、探究指数函数是否还有其它性质；

3、了解《庄子。天下篇》

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教学反思

3.1

重视数学知识的产生过程，培养学生的数学核心素养

在目前的教学大环境下，很多学生对数学已经不大感兴趣，不少学生每天都是为高考而学，学生学习数学的主动性，积极性和自主性已不如以前强烈，更别说学生自我数学核心素养的有意识的培养了。那如何更大限度的激发学生内在的自主学习的愿望呢？我觉得，老师可以在数学教学过程中，有意识的创设有效情境，让学生认识到学习的必要性和合理性，那

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对激发学生学习数学知识的热情，提高教学的有效性会有较大帮助。本节课从数学知识本身发展角度和实际生活需要出发，引出学习指数函数的必要性。新课标指出，“数学学习应注重生活与实际相联系”，“人人学有用的数学”。在教学过程中，尽可能的为学生提供实际生活中与之相联系的情况，与实际生活接轨，让学生感受到却是需要用数学知识解决生活中的问题，感到学习数学的有用性。本节课提出的细胞分裂问题，放射性物质等问题很好的吸引了学生的注意力。在数学知识内部，由初中已学的一次二次等函数出发，让学生理解再学习新函数是因为数学自身发展的需要。数学和实际的两相结合，使得学生对本节课内容的学习由被动变成了主动，学***涨。

3.2

重视数学史，数学文化在课堂情境中的渗透，提升学生的数学核心素养

数学史和数学文化在中学数学中的作用是非常重要的，尽管现在仍然有不少老师否定其作用。数学史和数学文化在教学过程中可以介入引入，结尾，知识的产生和发展过程，在校本课程和研究性学习，校园课本剧中也有很好的渗透，学习它可以激发学生的学习兴趣，帮助学生更好的认识数学，提高数学核心素养，培养创新能力和科研意识，形成正确的数学观。其实我国教育行政部门是很重视数学史和数学文化的教学的，中国数学史和数学文化已经成为数学教材的一个重要组成部分，在江苏版的教材中，就有很多地方是涉及数学家，古代数学名著，中国数学成就的。老师也应该在适当的教学过程中穿插其内容的教学。在本节课中，提到了《庄子。天下篇》，由于本节课时间有限，在课余的时间可以和同学们一起了解。

3.3

重视知识生成的主体性，提高学生的数学核心素养

学生才是课堂的主体，在课堂教学中要多多培养学生自主学习，合作探究的精神，升华学生的数学核心素养。在本节课中，从指数函数定义的引入，参数a范围的探讨，性质的学习，例题的研究无一不是学生主要参与的结果，知识的生成没有牵强，也没有老师强制给出的痕迹。在特例的选取中，让学生自由发挥，自行选择底数a的值，自行根据自己的图像研究函数的性质，再结合几个同学的图像，和学生共同来探讨一般情况，在这中间既体现了自主学习又兼顾了合作探究。特别是最后的总结反思，同学们的热烈讨论，激情表述的收获、疑惑和期待，更是让我感受到了学生作为课堂主体的重要性，课堂真的是属于学生的。

3.4

重视研究新问题的方法教学，提升学生的数学素养

“授之以鱼不如授之以渔”，在教学中我们不仅要教学生知识的内容，更要让学生理解知识的研究途径。类比教学，迁移教学等都是很有效的思维教学方法。在本节课中，通过初中研究一次二次等函数的研究内容和途径从而探究出指数函数的研究方法，从而总结出研究新

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函数的一般方法。从作指数函数图象过程中又回顾了从特殊到一般这种数学思想方法。这对学生以后自行探究，自主学习，甚至研究新课题都很有帮助。

3.5重视课堂留白，让学生数学核心素养再创新高

俗话说：编筐编篓，重有收口。所以在每节课结束都必须要有回顾总结，反思提升环节。而“留白艺术”是一切艺术的表现手法。在教学中，巧妙地运用留白方式，对于改革教学模式，实现课堂上教师的主导地位和学生的主体地位是很好的结合，这样对增强学生思考探索的主动性，提高学生掌握知识的水平，扩展学生的知识面，激发学生学习的热情都具有重要的意义。在本节课的回顾反思，总结提升中学生很好的总结了几条困惑和几项期待，并着《庄子。天下篇》内容的了解这些都可以暂时留给学生课后自主或合作解决。

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