1.1 集合的含义及其表示PPT配套优秀教学设计内容

第一章

集合与函数概念

1.1

集合

1.1.1

集合的含义与表示（一）

教学目标分析：

知识目标：

1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

2、掌握集合中元素的特性。

3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

过程与方法：通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。

情感目标：在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。

重难点分析：

重点：集合的含义与表示方法。

难点：集合表示方法的恰当选择及应用。

互动探究：

一、课堂探究：

1、情境引入

军训前学校通知：8月13日上午8点，高一年级学生在学校操场集合前往军训基地；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

2、集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。在学习集合之前，我们先来简单了解这位著名数学家的生平。

1845年3月3日，乔治••康托尔生于俄国的一个丹麦——犹太血统的家庭。1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托尔在1863年带着这个目的进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托尔很早就向往这所由外尔斯特拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托尔研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强烈的外界刺激曾使康托尔患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间的生活中一直断断续续影响着他。1918年1月6日，康托尔在哈勒大学的精神病院中去世。

探究一、在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合……那么，你能举出一些集合的例子吗？

师：引导学习回忆，举例，对学生活动进行评价；

生：回忆，举例，交流（数集、点集）

探究二、同学们通过回忆举了一些集合的例子，那么集合的含义是什么呢？下面请同学们阅读教材第二页书上所举的8个例子，你能概括出它们具有的共同特征吗?集合的含义是什么？

师：引导学生阅读书上的8个例子并进行思考，概括；

生：阅读例子并尝试概括共同特征，交流发表意见（将研究对象抽象为元素，这些元素的全体抽象为集合）

3、集合的定义

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。探究三、你能说说集合中元素的特点吗？

师：引导学生阅读教材相关内容，并引导学生尝试概括举例

生：阅读教材，思考老师提问

4、集合元素的特征

确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的。设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。如“身材较高的人”不能构成集合。

互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。如{1,1,2}不能构成集合

无序性：一个给定集合中的元素顺序可以交换，也就是说只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。如{1,2}{2,1}

思考、判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流。

5、元素与集合的关系

探究四、元素与集合的关系是什么？如何用符号表示？举例说明。

我们通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写的拉丁字母a,b,c,...表示集合中的元素。如高一（1）班里所有学生组成集合A，a是高一（1）班里的同学，b是高一（2）班里的同学，那么a,b分别和A有什么关系呢？

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA;如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作aA

5、常用数集的记法

探究五、从小学学习自然数开始，到我们现在的实数集，我们经历了数集的扩充，大家回忆我们学了哪些数集，这些数集该用什么符号表示，大家带着这些问题阅读教材第三页相关内容

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 探究六、我们可以用自然语言描述一个集合，除此之外，还可以用什么方法表示一个集合呢？例如：如何表示“地球上的四大洋”组成的集合？如何表示“方程(x1)(x2)0的所有实数根”组成的集合？

6、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法

例1、用列举法表示下列集合

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程xx的所有实数根组成的集合；

（3）由1—20以内的所有素数组成的集合；

注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开；

②集合的元素必须是明确的；

③各元素的出现无顺序；④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物. 知识链接：

（1）质数又称素数。指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

（2）合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。

（3）公约数，亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数(H.C.M. / G.C.D.)。

（4）公倍数(common multiple)指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。这些公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数（lowest common multiple）。

例2、若集合A{a3,2a1,a4}且3A，求实数a的值.

答案：a0或a1. 22

变式：设集合A{2,3,a22a3},B{|a3|,2}，已知5A且5B，求实数a的值.

答案：a4. 二、

课堂练习： 教材第5页练习题第1题

反思总结： 1、

本节课你学到了哪些知识点？

2、

本节课你学到了哪些思想方法？

3、

本节课有哪些注意事项？

课外作业： （一）

教材第12页习题1.1第3题

（二）

补充

2、集合A中的元素由xab2(aZ,bZ)组成，判断下列元素与集合A的关系？

（1）0；（2）11；（3）

2132解：（1）因为0002，所以0A；

（2）因为1211112，所以121A；

132（3）因为32312,3Z，

所以Z；

点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.

3、由实数x,x,x2,3x3所组成的集合里最多有几个元素?

答案：最多2个

4、已知4{1,a2,(a1)2}，求实数a的值.

答案：a2或3. 5、设x,y,z是非零实数，若a

答案：3. 课后反思：

xyzxyz，求由a的值组成的集合中的元素的个数. |x||y||z||xyz|