习题2.1教学实录与评析

课题

《指数函数及其性质》

教材分析：

指数函数是基本初等函数之一，在中学数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用。如细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关。有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础．教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后考察两个特殊的指数函数y2x，1y()x，用描点法画出其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、2值域、图像过定点（1，0）及单调性等性质。最后配备恰当的习题及练习。在知识的形成过程中，体现图像观察、归纳猜想的思想。这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题。

学情分析：

学生在学习本节内容时，已学过了一些基本初等函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础。由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系。课堂教学中要重视列表、画图像的学生活动过程，这样才有利于学生自主观察、归纳出指数函数的性质。让学生充分体验知识的产生和形成过程。

教学目标：

（1）知识性目标：理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；

（2）能力性目标：在学习的过程中体验研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的思想方法等。

（3）体验性目标：使学生了解指数函数模型的实际背景，体验并认识数学与现实生活及其他学科的联系；通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力。

教学重点：指数函数的的概念和性质。

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。

教学过程：

一、

引入课题

（以下为备选引例）

1.（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世

1

界关注。世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长。为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育。

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%。为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策。

①按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

②到2050年我国的人口将达到多少？

③你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？

2.上一节教材问题1：GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？

3.上一节教材问题2：死亡生物体内碳14的含量P与时间t的函数关系式是什么？

思考：上面的几个函数有什么共同特征？

二、

新课教学

（一）指数函数的概念

定义：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

概念解析：（1）注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．

（2）指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析。

（二）指数函数的图象和性质

1、核心问题：通过做出指数函数图象，探究指数函数的性质。

明确探究思路：类比前面讨论函数性质时的思路，采用数形结合的思想方法探究。

探究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质。

探究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。

2、探索研究：

探究一：指数函数yax(a1)与yax(0a1)的图象与性质。

1（1）分别在两个坐标系下作出函数y2x和y()x的图象。

2教师提示描点法作图的步骤：①列表，②描点，③连线。

学生可在完善教材55页两个表的基础上，自行作出函数的草图，再与教材55页图对比。

（2）运用由特殊到一般得归纳思路探究两类指数函数的图象性质，并完成教材

2

56页表。

探究二：随着底数取值的变化，指数函数的图象关系与变化规律。

（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象：

11①y()x ②y()x ③y2x ④y3x ⑤y5x

32（2）学生小组活动：学生带着问题根据图像探索指数函数的图像性质。

1讨论问题1：从画出的图象中你能发现函数y2x的图象和函数y()x的图象21有什么关系？可否利用y2x的图象画出y()x的图象？

2

讨论问题2：从画出的图象（y2x、y3x和y5x）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？

（3）全班交流归纳：

请学生在全班范围内交流根据指数函数的图象的特征归纳出的指数函数的图像性质、规律。

（三）性质的应用举例

1、利用指数函数的单调性比较大小。

（1）同底数型幂比大小。

例1．（教材P57例7）．

问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？

说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．

巩固练习：（教材P59习题A组第7、8题）

（2）同指数型幂比大小。

例2. 比较大小：

222212333①() () ②5 23

52（3）利用中间量比较大小

思考：怎样比较1.70.3与0.93.1的大小？

2、求函数的定义域

练习：教材P582题

补充练习：①y14x52；②y32x11

3、画出下列函数的草图，并与指出与指数函数y＝2x的图像的关系。

（1）y2x1

（2）y2x2

（将y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到y＝2x＋1的图像。

将y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，即可得到y＝2x-2的图像。）

三、

归纳小结

3

学生反思本节课获取了哪些知识，获取知识方法的途径。

本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法。

四、

作业布置

教材P69习题2．1（A组）

第5、6、8、12题．

五、

课后反思

这节课的知识内容有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个内容，本课进行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质。这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选配的例题难易适中，具有典型性和代表性。练习由易到难，既可以巩固基础知识，又可以提高学生的解题技能。

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