信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆名师教学设计1

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

宁夏育才中学 邓光智

《几何画板》是一个适用于几何（包括平面几何、立体几何、解析几何等）教学的软件平台。它为我们提供了观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些元素的变换、构造、测算、计算、动画、轨迹跟踪等，构造出其它较为复杂的图形。

《几何画板》最大的特色是“动态性”，即可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基【教材分析】

本性质）保持不变。同时，利用它的动态性和形象性，可以创造一个实际“操作”几何图形的环境。我们可以任意拖动图形、观察图形、发现结论、猜测并验证、在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的经验背景，从而更有助于我们理解和证明。

在必修二种已经遇到动点轨迹问题，而且在选修1-1和选修2-1教材中都有一些轨迹问题，这也是一个重点考察内容.

轨迹问题对于学生来说是一个难点，在没有求出轨迹方程的情况下，【学情分析】

学生很难想象轨迹是什么，而信息技术在给出动点满足的几何条件之后探究曲线的形状有着特殊的作用.伴随着用《几何画板》探究点的轨迹的过程，再结合所求出的轨迹方程，学生能更好的理解轨迹问题。

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1、

知识目标：

理解轨迹及轨迹方程的概念及实质区别，掌握求轨迹方程常见的三种方法；

【教学目标】

2、能力目标：

通过几何画板动画演示轨迹的形成过程，体会理论推导与实际操作相结合，更有助于理解与证明；

3、情感、态度、价值观目标：

激发学生的学习兴趣，通过信息技术的应用，让学生勇于探索. 【教学重难点】

1、教学重点：用几何画板探究点的轨迹及轨迹方程的常见求法

2、教学难点：轨迹方程的求法

【教学方法】

【课型结构】

【教学手段】

【课时安排】

讲授法、启发式、情景教学法、师生合作教学法

新授课

多媒体、电子白板

一课时

教学过程

通过对前一天微课的学***家了解了什么是轨迹及轨迹方程

轨迹：动点按照一定条件运动所形成的曲线

（几何图形）

步骤一：

轨迹方程：动点运动，其坐标(x,y)所满足的 关系式

引入新课

（代数方程）

通过提问，检查学生自主学习的效果

设计说明

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一、到定点的距离与到定直线的距离之比是小于 1 的常数的点的轨迹

探究：

例1 ：如图，F是定点，

是不经过F的定直线，动点M到定点F的距离与到定直线 的距离的比e是小于1的常数，动点M的轨迹是什么？

步骤二：

用几何画板探究点的轨迹

将学生引入

l仅凭想象，我们很难理解轨迹是什么，

有一种应用于几何教学的软件——几何画板，可是我们课堂教学，既激发学生兴趣.

清晰地观察估计的形成.简单介绍几何画板的功能与特点. 利用几何画板探究点的轨迹. 改变比值，继续探究动点的轨迹

3

过渡：能否用方程描述所形成的的轨迹呢？

25l:x，点M到点F的例1 如图，F(-4,0)和定直线 44，求点M的轨迹

距离与到定直线 的距离的比值为常数 5步骤三：

分析：设点M的坐标

(x,y)

，那么点M到点F的距离可用用方程两点间的距离公式表示，点M到直线

l

的距离也可以用坐描述形成的轨迹

教师引导学生分析问题，将文字语言转化为数学符号语言，引导使他们在主动思维的标表示

，因此，建立

两者之间的关系式，得出点M的轨迹方程. 解：设d是M到直线根据题意有

l:x254 的距离，M(x,y) 过程中，培养其分析问题，MFd24

52解决问题的能力. (x4)y4

由学生回答，

525x教师在平板4即

上规范书写解答过程，同22将上式两边平方并化简，得：9x25y225

过台平板的同屏功能，学x2y2生在平板上19即 25

能清楚看到教师所书写所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别为10、6的椭圆. 的过程. 直接法:设出动点坐标，然后根据题意直接列式化简得轨迹方

程

二、例题讲解

22xy4上任取一点P，过点P

例2 如图，在圆

做x轴的垂线段PD,D为垂足，当P在圆上运动时，线段PD

的中点M的轨迹是什么？为什么？

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步骤四：

先用几何画板演示想成的轨迹，在应道学生分析，并试图用方程描述轨迹

22xy4上.我们可以由M为线段分析：当点P在圆PD的中点得到M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程. 解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则

yxx0,y0,2

22xy4上，所以

因为点P（x,y）在圆0022xy04.

022把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得

x4y4，x2y21.

即 4

所以点M的轨迹是一个椭圆. 相关点法：设出动点坐标及其相关点的坐标，然后据题意列式化简得轨迹方程

例3 如图，圆O的半径为定长r ，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线 和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

分析：由于Q是线段PA垂直平分线上的点，从而有

lPQQA又OQPQ

为定值r ，等量代换

由学生分析完此问题后，教师将此问题发到学生的平板电脑上，学生先进行合作探究，然后解答并提交，教师对提交的答案进行展示点评，实现同屏互动，师生合作、生生合作的效果.

仍由学生分析此问题，

教师给予必要的引导，使学生从感性认识发展到理性认识。

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【板书

设计】

【课后

小结】

有

，分析这个式子本身的几何意义即得

点Q的轨迹.

学生回答，教解：因为点Q是线段PA垂直平 分线上的点，所以有

师在电子白PQQA 板上书写解OQPQr答过程强调 又

书写规范的OQQAr重要性，体会 所以

数学的逻辑此即为动点Q到两个定点O、A的距离之和为常数，且这严密性.

OA

个常数大于两定点的距离

所以，这样的动点Q的轨迹即为椭圆.

如果给出r的具体值以及点O和点A的坐标，我们就可以直

接写出点Q的轨迹方程.

定义法：利用所学过的曲线的定义直接写出所求的动点的轨

迹方程

轨迹及轨迹方程的求法：

轨迹：动点按照一定条件运动所形成的的轨迹（几何图形）

轨迹方程：动点运动，其坐标所满足的代数式（代数方程）

轨迹方程常见求法;

1、

直接法

2、

相关点法

3、

定义法

本节课，我们用几何画板探究了点的轨迹，退回到信息技术

在教学中的作用，并学习了轨迹方程常见的三种求法.

OQQArr6

【课后

反思】

【课后

检测】

本课教学设计从学生自主学习的微课展开，简单介绍了

几何画板软件，用几何画板探究了点的轨迹，并学习用方程

描述形成的轨迹.

教学中用几何画板软件动态演示了轨迹的形成过程，使

用了电子白板，利用了平板电脑，达到师生同屏互动的效果，

使课堂教学与信息技术达到了深度融合。整个教学紧扣“动

点的轨迹”这个主题，引导学生进行自主学习与合作学习，使他们在主动思维的过程中，培养起分析问题，解决问题的能力. 在对教学内容的处理上，使用教材，但不拘泥于教材，灵活整合教材资源，力将教材目标化、目标问题化，从问题入手，围绕问题的解决开展教学。

当然，在教学的过程中，还有些地方的处理有待提高。平板电脑没有充分利用，其实在最后还可以利用平板电脑再推送一次。另外，整个教学中师生一问一答多，回答问题的学生过于集中，等等这些问题妨害和限制了学生的个性和潜能，不利于创新人才的培养。作为教师，应该充分地正视这一问题，要在课堂教学中突出创新精神，充分利用现代信息技术，做到真正以学生为主体。

1、已知点P(2,0),Q(8,0)，点M与点P的距离是它与点Q的距离的 ，求点M轨迹方程.并说明轨迹是什么图形. 2、点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点M轨迹方程.并说明轨迹是什么图形. 7