习题2.1优秀教案设计

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.1

指数函数

2.1.1

指数与指数幂的运算(第一课时)

学习目标

①理解n次方根与根式的概念; ②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题: 当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?

当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?

由以上的实例来推断生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式应该是什么?

考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14含量P的值.那么这些数(

,(

,(

的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.

二、学生探索,尝试解决

问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?

问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?

问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢? 方根的定义: 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.

三、信息交流,揭示规律

试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.

(多媒体显示,学生完成) (1)25的平方根是

;

(2)27的立方根是

;

(3)-32的5次方根是

;

(4)16的4次方根是

;

(5)a6的立方根是

;

(6)0的7次方根是

.

问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?

问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?

问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?

问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢? n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质: (1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号

表示.

(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次方根用符号

表示,负的n次方根用符号

表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成

(a>0).

注:①负数没有偶次方根; ②0的任何次方根都是0,记作

=0;

③当a≥0时,

≥0,所以类似

=±2的写法是错误的.

另外,我们规定: 式子

叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.

问题9:利用上面所学n次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(

)2;(2)

-

;(3)

-

;(4)

-

(a>0).

问题10:上面的计算涉及了哪几类问题?

组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(

)n=a.例如,(

)3=27,(

- )5=-32.

(2)当n是奇数时,

=a;当n是偶数时,

=|a|=

例-

如,

-

=-2,

=2;

=3,

-

=|-3|=3.

四、运用规律,解决问题

【例1】求下列各式的值: (1)(

-

)3;(2)

-

; (3)

-

;(4)

-

(a>b).

【例2】化简下列各式:

(1)

;(2)

-

;(3)

- ;(4)

;(5)

.

五、变式演练,深化提高

1.若x∈R,y∈R,下列各式中正确的是(

)

A.

=x+y

B.

=x-y

D.

-

-

=0

C.

-

=2x

-

2.

-

-

-

成立的条件是(

) A.

-

≥0

-

B.x≠1

C.x<1

D.x≥2 3.在①

-

;②

-

;③

;④

(各式中n∈N,a∈R)中,有意义的是(

) A.①②

B.①③

C.①②③④

D.①③④

4.当8

-

-

=

.

六、反思小结,观点提炼

1.若xn=a(n>1,n∈N*),则x叫做a的n次方根.当n是奇数时,实数a的n次方根用符号

表示;当n是偶数时,正数a的n次方根用符号

表示,负数的偶次方根无意义.式子

叫做

,其中n叫做

,a叫做被

.

2.在实数范围内,正数的奇次方根是一个

;负数的奇次方根是一个

.正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数;负数的偶次方根没有意义;0的任何次方根都是0.

3.(1)(

)n=

.

(2)当n为奇数时,

=

;当n为偶数时,

=|a|=

七、作业精选,巩固提高

1.复习课本P48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质; 2.课本P59习题2.1A组第1题.