3.1.2 指数函数名师教学设计2

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个．……依此类推，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的解析式是怎样的？

提示：y＝2x. 问题2：一种产品的产量原来是1，在今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，那么产量y随年数x变化的函数解析式是什么？

提示：y＝(1＋p%)x. 问题3：以上两个解析式有什么共同特征？可以用什么样的关系式来描述？

提示：函数式的底数为常数，指数为未知数x，可以用y＝ax来描述．

指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.

1考察函数y＝2x与y＝()x. 2问题1：作出这两个函数的图象．

提示：如图所示：

问题2：两函数的图象与y轴的交点是什么？指数函数都过该点吗？

提示：交点为(0,1)．指数函数都过(0,1)．

问题3：两函数的图象与x轴有交点吗？

提示：没有．

问题4：这两个函数的单调性如何？

1提示：y＝2x是增函数，y＝()x是减函数．

2

指数函数的图象和性质

a>1

0

定义域

值域

性质

过定点

R

(0，＋∞) 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

函数值的变化

当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01 单调性

在(－∞，＋∞)上是单调增函数

1．指数函数是一个形式定义，只有形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数才叫做指数函数．像y＝2·3x，y＝x2，y＝2x＋1，y＝3xa>0且a≠1. 2．研究指数函数y＝ax的图象和性质时，当底数a大小不确定时，必须分“a>1”和“0

＋1在(－∞，＋∞)上是单调减函数

都不是指数函数．在指数函数中，底数有严格的规定，即

[例1]

函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．

[思路点拨]

利用按照指数函数的定义求解．

[精解详析]

∵函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，

2a－7a＋7＝1，a＝1或a＝6.∴∴

a>0，a≠1.a>0，a≠1.

∴a＝6，即a的值为6. [一点通]

指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.

1．下列所给函数中是指数函数的是________．(只填序号) ①y＝4；②y＝x；③y＝－4；④y＝(－4)；⑤y＝π；⑥y＝4；⑦y＝x2；⑧y＝(2a－11)x(a>，a≠1) 2解析：②中自变量不在指数上；③是－1与4x的积；④中底数－4<0；⑥中指数不是自变量x，而是x2；⑦中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义．只有①⑤⑧是指数函数．

答案：①⑤⑧

2．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为__________．

解析：根据题意知，y＝13(1＋1%)x＝13×1.01x. 答案：y＝13×1.01x

3．已知指数函数f(x)的图象过点(3,27)，求f(5)的值．

解：设函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

因为函数f(x)的图象过点(3,27)，

所以a3＝27，解得a＝3，

所以f(x)＝3x，所以f(5)＝35＝243.

[例2]

比较下列各题中两个值的大小：

(1)3－πx4xxxx25－5－－与33；(2)()a2与()a3；

66(3)1.40.1与0.93. [思路点拨]

(1)(2)利用指数函数的单调性比较；

(3)借助中间量1比较．

[精解详析]

(1)∵3>1，∴函数y＝3x是增函数，

又∵－π<－3，∴3π<33. －－

5(2)∵0<<1，

65∴函数y＝()x是减函数，

6又∵a－2>a－3. 5－5－∴()a2<()a3. 66(3)∵1.4>1,0<0.9<1，

∴函数y＝1.4x是增函数，y＝0.9x是减函数，

∴1.40.1>1.40＝1，

0．93<0.90＝1. ∴1.40.1>0.93. [一点通]

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：

(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．

(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可．

(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．

4．比较下列各题中的两个数的大小：

(1)1.72.5,1.72.3；(2)(0.8)(3)1.70.3,0.92.7. 解：(1)对于指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，

所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵2.5>2.3，∴1.72.5>1.72.3. (2)∵函数y＝0.8x在R上是减函数，－0.1>－0.2，

∴(0.8)－0.1－0.1，(0.8)－0.2；

<(0.8)－0.2. (3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1，

0．92.7<0.90＝1，∴1.70.3>0.92.7. 495．(1)比较()2和()3的大小；

510(2)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.30.8，试比较a，b，c的大小关系．

11

9解：(1)取中间量()2. 104259210111∵8849＝()2<()0＝1，∴()2<()2. 99510111911∵y＝()x在R上是单调减函数，又>，

10239949∴()2<()3，∴()2<()3. 1010510(2)对于a和b:

∵0<0.8<1，∴y＝0.8x是减函数，

又∵0.7<0.9，∴0.80.7>0.80.9. 又0.80.7<0.80＝1，∴b1，

∴y＝1.3x是增函数．

∴1.30.8>1.30＝1，∴c>1，

∴c>a>b.

[例3]

求下列函数的定义域与值域．

(1)y＝21x-311111；(2)y＝()|x|；

3(3)y＝1－2x. [思路点拨]

对于(1)(2)，可首先确定指数函数的定义域和值域，再确定函数的定义域和值域；对于(3)可先由1－2x≥0得定义域．

[精解详析]

(1)因为指数函数y＝2x的定义域为x∈R，值域为y∈(0，＋∞)；若x≠0，11则y≠1.由于y＝2中的≠0，所以y≠1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3}，x－3x－3值域为{y|y>0且y≠1}．

1(2)因为y＝()|x|中的|x|≥0，所以x∈R,0

(3)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0. 又∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴0<2x≤1，

∴0≤1－2x<1，

∴0≤y<1.

故定义域为(－∞，0]，值域为[0,1)．

[一点通]

(1)对于y＝af(x)这类函数：

①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．

②值域问题，应分以下两步求解：

a．由定义域求出u＝f(x)的值域．

b．利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．

(2)对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．

6．(山东高考改编)函数f(x)＝1－2x＋x1－2≥0，解析：由得－301的定义域为________．

x＋3

所以函数的定义域是(－3,0]．

答案：(－3,0] 1x2－2x＋27．函数y＝()的值域是__________．

2解析：∵x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1. 1x2－2x＋2111∴()≤()＝. 22211又()u>0，∴y∈(0，]．

221答案：(0，] 28．求函数y＝4x－2x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．

－－11113113－－解：y＝4x－2x＋1＝()2x－()x＋1＝[()x－]2＋.令t＝()x.则y＝(t－)2＋. 22224224111∵x∈[－3,2]，∴()x∈[，8]，即t∈[，8]，

2443－－∴y∈[，57]．即函数y＝4x－2x＋1在

43x∈[－3,2]上的最大值为57，最小值为. 4

指数函数的图象与性质与底数a的关系：

(1)当a>1时，函数y＝ax单调增，x>0时y>1，x<0时00时01.

(2)同一直角坐标系中图象的相对位置与底数大小的关系：

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．