2.2.1 函数的单调性优秀教学设计

课题：函数的简单性质（一）

——函数的单调性

一、本节内容在教材中的地位与作用：

《函数的单调性》系苏教版高中数学必修一2.1.3.1的内容，该内容包括函数的单调性及函数的最值。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情、教法分析

按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标与教学重、难点的制定

依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：函数单调性的定义、函数单调性定义证明的格式

（2）能力目标：①运用函数单调性的定义判断并证明简单函数的单调性

②利用简单的代数证明，培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力

（3）情感目标：①渗透数形结合的数学思想

②激发学生参与数学学习、教学活动的兴趣。

在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：

教学重点：函数的单调性的定义；

教学难点：利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。

四．教材内容简析

（1）单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间IA：如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，那么就说f(x)在这个区间上是单调增（减）函数。关键词“区间IA：”、“任意”、“都”。区间IA：说明判断函数单调性首先判断函数的定义域，“任意”表明不可以用两个特定的值来确定函数是增函数还是减函数，但是可以用来否定函数是增函数或者否定函数是减函数，“都”表示单调区间中的每一个值无一例外。

（2）单调性的判断与证明：①由于代数证明的形式第一次出现，因此把例题中的证明步骤归结为五个步骤：取值、作差（商）、变形、定号、结论。②两个单调区间的并不一定是单调区间。

五、教学过程设计

教学

环节

教学时间

1 分

钟

教学目的

教师引言：

教学呈现

设计意图

教学

方法

讲

授

法

说明

明确学习内容且向学生渗透研究函数问题的一般方法。

导入

新课

开门见山

引出课题

前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的性质。

（板书课题：函数的单调性）

对函数的单调性有感性的认识

1、函数的单调性

问题1：请学生画出下列函数的图象。[实物投影] （1）y检查学生对函数图象的

掌握情况

考察学生的观察能力，培养学生的数学表达能力

演

示

法

2x1（2）yx21（3）y1x[设问1]：以上函数图象中哪部分从左到右看是上升的，哪部分是从左向右看是下降的？

用实物投影将学生画的图象进行展示

对函数图象的增、减情况用动画演示，增加直观性、提高学生兴趣

让学生口述

教师板书

关键词：“任意”、“都有”同时可举实例帮助学生理解，判断函数在区间[a,b]上的增、减情况

新

授

课

从图像引出“随着自变量的增大函数值增大”，为进一步转化成符号语言做准备

教师提出“单调增函数、单调减函数”两名词；请学生看教材34页对单调增、减函数的具体定义。

板书：

一般地，设函数让学生自己去领悟、思

谈

10分

钟

理解增、减函数的定义

考、记忆概念

话

法

讲

授

法

f(x)的定义域为A，区间

强化教学重点，加强对知识的记忆

把握概念的本质

IA：如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当时都有x1x2f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，那么就说f(x)在这个区间上是单调增（减）函数。

[设问2]：你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

y x o a

b

教学

环节

教学时间

教学目的

了解单调函数、单调区间的概念

能运用函数单调性的概念结合图象判断函数的单调性并写出单调区间

教学呈现

设计意图

教学方法

谈

话

法

对函数说明

2、单调函数、单调区间

[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数yf(x)在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数yf(x)在这个区间上具有单调性。这一区间叫做yf(x)的单调增（减）区间。

[设问3]：说出上述函数

新

授

课

6 分

钟

yx21，区间。

y2x1，1y的单调x

问题2：（如图）定义在区间[5,5]上的yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，函数以及在每一单调区间上，yf(x)是单调增函数还是单调减函数。

Y

3

2

1 -2 X

-4 -3 -5 -1 O 1 2 3 4 5 -1

-2

-3

介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。

使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性；并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。

y1x的单调区间学生易错写成

(,0)(0,)

的形式，故加以澄清

并举反例加以说明

题目及图形的给出用实物投影

教学

环节

新

授

课

12 分

钟

教学时间

教学目的

能运用函数的单调性定义进行证明函数在某一区间上的单调性

能灵活运用概念证题

例题：证明函数教学呈现

3、函数单调性的证明

教师过渡语言：

要了解函数某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据函数单调性的定义进行证明。

[设问4]：请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？

设计意图

教学方法

说明

渗透用图象法研究函数的思想方法

提出问题、创设情境，培养学生积极思考、快速把握问题实质的良好思

加深学生对函数单调性定义的理解，规范解题格式

培养学生归纳总结的能力

调动学生参与讨论、培养学生的发散思维、开阔学生解题思路

谈

话

法

讲

授

法

讨

论

法

1、对[设问4]的思考、回答可借助于具体函数：f(x)1x在(0,)上是增函f(x)2x1在R上为增函数的证明为例。

2、例题中的注意点：

①解题格式

②防止循环论证

③作差同“0”比

数。

板书：证题详细过程。

师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：

（1）设x1,x2是给定区间上的任意两个值，且维品质。

x1x2；

（2）作差f(x2)f(x1)变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；

（3）确定

引导讨论：

由上例能不能写出函数间并证明？

板书：证明详细过程。

f(x2)f(x1)的符号；

（4）下结论。

1f(x)的单调区x1

教学

环节

课

堂

练

习

课

后

小

结

教学时间

7 分

钟

教学目的

进一步巩固函数单调性的概念及证明函数单调性的方法

强调教

3、求函数练习：

教学呈现

设计意图

及时反馈，检查知识的落实情况

教学方法

练

习

法

说明

学生证明结果在实物投影上展示

1、课本37页练习（6）

2、、判断函数yx1在(0,)上是单调增x2的单调区间

x12函数还是单调减函数？

f(x)1．如果对于定义域内的区间I内的任意两个自变量的值使学生在头脑中的知识结构得到提炼、帮助掌握重点内容

谈

话

法

让学生来小结、回顾

3 分

钟

学目标突出教学重点

x1,x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，那么就说f(x)在这个区间上是单调增（减）函数。

2．利用定义证明函数的单调性常通过确定f(x2)f(x1)的符号判断f(x1)与f(x2)的大小。

课本37页：

练习

2、5、7

思考题：

判断函数

布

置

作

业

教学

后记

1 分

钟

课后进一步掌握、巩固概念方法

培养学生独立解决问题的能在区间力

思考题要求较高作为选做题

axf(x)2(a0)x1(1,1)上的单调性。

见补充说明

七、板书设计

课题：函数的单调性

1 、函数的单调性

定义 例1：证明函数f(x) 证明：

2、单调函数、单调区间 3、函数单调性的证明

方法：（1）利用定义作差

一般步骤（注意点）

①

设x1,x2

②

作差变形

③

定号

④

结论

1在(0,)上是增函数。

上课草稿

x 八、补充说明

本课是让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点；估计学生在根据函数图象写出单调区间及对较简单函数的单调性证明能基本掌握。