实习作业优质课教案内容

《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计

一、内容和内容解析

函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。

函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。

二、目标和目标解析

1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。

3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。

5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。

三、教学问题诊断分析

函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。函数的单调性一定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个函数单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在

（0，+∞）上y随x的增大而减少。”在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在而学生容易错误理解函数区间上取两个数-1和5，-1<5，而f(-1)

四、学习行为分析

学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函的最值，讨论函数（x>0）单调区间等具

数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数上y随x的增大而减少，则函数在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（

0,+∞）在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。

五、教学支持条件分析

函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，

y=x2，，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。对于概念中的一些关键字词，比如

“任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1

通读题目，理解题意，然后利用多媒体演示动画模型，激发学生学习兴趣；接着相互讨论，共同解决。最后学生提问，教师答疑，师生共同小结求最值的基本方法。

六、评价设计

《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。二是基本技能掌握情况的评价。主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。求最值的基本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。

（具体的教学评价见教学过程）

七、教学过程设计

设计环节

设计意图

师生活动

教师提出问题：

“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为一．创设情境，导下一步提出探索性的出问题

问题创设有效的学习学校准备建造一个长环境。

方形的花坛，周长设计为16米。由于受周围地理位 置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能 少于1米。

二、借助信息技y=x

，

y=x

，

y=

， y=x3

术，利用熟悉的函学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变从形象、直观的图形入数，给出单调性直量之间的关系，教师适当引导。

手，为探索与思考问题观认识。

y=x在R上y随x的增大而增大。

提供方向和“路标”，并 借机发展学生的动手y=x在(-∞,0)上y随x的增大而减少，在(0,+∞)上y 实践能力、创新能力、随x的增大而增大。

和探索能力。

y=在（-∞，0）上y随x的增大而减少,在

（0，+∞）上y随x的增大而减少。

y=x3 在R上y随x的增大而增大。

教师利用信息技术，动画演示函数的图象。

怎样用数学语言表示y=x在R上y随x的增大而增 大呢？（学生讨论，教师引导，得出增函数的定 义） (学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住从定性描述到定量描时机予以启发，纠正，补充)。

述，从通俗的日常用语一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I到严谨的数学语言，让内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1

定义，并能深刻理 解定义的含义。

增函数(increasing function)

注意数形结合，定义是用类比的方法得出减函数的定义：

严谨的语言，图象是直如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量观的语言，注意两者有值x1、x2,当x1 f(x2).那么就说f(x)在机的结合。

这个区间D上是减函数(decreasing 问1、建立面积y与一边长x的函数关系式。

生：y=x(8-x) (1≤x≤6)

问2、画出上面函数的图象。

问3、指出y的值与x值的变化关系。

以实际问题为背景、以生：当1≤x≤4时，y随x值的增大而增大，

学生熟悉的一元二次当4≤x≤6时，y随x值的增大而减小。

函数为入口点，激活学问4、求出面积的最大值与最小值。

生原有的认知，让学生生：当x=4时，Smax=16m；当x=1时，Smin=7m

对所要学的新知获得感性的认识。

引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。

请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y与自变量x之间的关系：

利用类比方法，实现知识与能力的迁移

教师提出问题，让学生

在自主探索，讨论，在function ) 合作交流中，充分体现如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。学生学习的主体性，对那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调概念进一步深入的领性，区间D叫做y= f(x)的单调区间. 会。

1、“函数y=x2是单调递增函数”这一说法对吗？

2、y=在（0,+∞）上是减函数

，在(-∞,0)是减函数，能否说函数在整个定义域上是减函数？

3、函数在某个区间是否一定具有单调性？

4、如何理解定义中“任意”两个字？

1、

教材例（1）p34讲解：让学生自己通看教材，例（1）是利用函数的学生提问，学生自行解决，师生共同总结：

图象来判断函数的单（1）单调性与端点无关。

调性，具有直观性，也（2）判断函数的基本方法-----图象法。

是常用方法。

2、

教材例（2）p34讲解：教师板演，师生共同总 结：

四、讲解例题、巩 （1）

判断函数的基本方法-----定义法。

固知识，提高能 （2）

总结定义法证明单调性的基本步骤：

力。

例（2）是利用单调性 1 任取x1，x2∈D，且x1

的定义来证明函数的 2 作差f(x1)-f(x2)；

单调性。通过本题的讲3 变形（因式分解、配方、通分有理化）；

解，具有严谨性，能加4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

深对定义的理解。

⑤下结论（指出函数f(x)在区间D上的单调性）

3、在解题中，根据题目的实际情况和具体要求，选择适当的方法。

从熟悉，具体的二次函数入手，探讨最大，最小值，让学生有感性认五、回归引例，探识。

重新演示 讨最大（小）值的 含义

引例函数的图象及面积的最大值与最小值

分析上面图象可以发现，函数y=x(8-x) (1≤x≤6)的 图象上有一个最高点（4，16），任意的x∈［1,6］,用数学语言描述最大都有f(x) ≤f(4),当一个函数f(x)有最高点，我们就说值，最小值。

函数有最大值。有一个最低点（1，7），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),当一个函数f(x)有最低点，我们就说函数有最小值。而函数f(x)=x的图象没有

最高点也没有最低点，所以函数f(x)=x没有最大值，也没有最小值。

得出函数最大值的定义：

从特殊到一般，揭示数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实学通常的发现过程，便数M满足：

于学生接受。

⑴

对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）

利用类比方法，实现知让学生仿照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小六、归纳最大(小）识与能力的迁移

值的定义（minimum value）。

值的定义，并加以 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实 说明，解释

数M满足：

⑴

对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；

教师提出问题，让学生⑵存在x0∈I，，使得f(x0)=M

在自主探索，讨论，在那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（maximum 合作交流中，对概念进value）

一步深入的领会。

1、函数y=x、y=有没有最值？

2、如何理解定义中的“存在”“任意”的含义？

3、以前求最值有哪些方法？

例(3）、例(4)的教学采用自学导学法，按以下步骤 实施：

例(3)是学生熟悉的烟1、

学生通读题目，理解题意

花问题，可转化为二次2、

利用多媒体演示动画，激发学生学习兴趣。

函数来解决，难度不3、

学生自学，相互讨论，共同解决。

大。

4、

学生提问，教师答疑。

七、函数单调性、 5、

师生共同小结求最值的基本方法：

最大（小）值应用

（1）转化为二次函数的最值问题。

例(4)是单调性与最值①配方法

问题的综合，具有一定②注意实际问题的条件限制。

的难度。注意转化为反（2）利用函数的单调性求最值------在闭区间上。

比例函数，利用数形结①先证明在在闭区间上具有单调性。

合。

②端点值即为函数的最值。

利用课堂练习巩固所课堂练习：

学的知识内容，数学思课本第38页练习1、练习2、练习3、练习4。

想，数学方法，以达到学生独立思考与讨论相结合，教师巡查，个别辅导八、练习、交流、 教学目标，本环节以个与

反馈、评价

别辅导为主，体现面对集体辅导相结合。

全体学生的课改新理念。

九、课堂小结

通过学生自我小结，既知识小结：

充分发挥学生的主观1、函数单调性，最大（小）值的概念。

能动性，提高学生分2、判断函数单调性的基本方法。

十、布置作业

析，概括，综合，抽象3、用定义法判断函数的基本步骤

能力，又有利于学生把4、求最大（小）值的基本方法。

新知融入自己已有的师生、生生互动：

知识体系。

1、你觉得本节课中印象最深的是什么？

2、你觉得本节课中最大的困惑是什么？

让学生提问题，自行解决，教师适当补充。

沟通课内与课外，使学作业布置

生基础性学力与发展1、

书面作业：课本P45习题1．3（A组）

第1- 5性学力协调发展，让不题．

同学生得到不同的发2、

研究性作业：设f(x)是定义在R上的增函数， 展。

f(xy)=f(x)+f(y)，

1）求f(0)、f(1)的值；

2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1解集

八、设计反思

在普通高中数学课程标准强调高中数学活动中的师生互动，明确指出“必须关注学生的主体参与，师生互动”进行在教师指导或引导下“数学化”过程，“再创造”过程。建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和掌握.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求。发现、探究、讲解、演练相结合教学法的确立，就是基于对学生认知基础和认知规律的关注。

在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程。强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。通过讨论交流，进一步加深对概念的理解，完善认知结构，让学生在“平衡－－不平衡－－新平衡”中不断得到丰富和发展。通过讨论交流，实现生生互助，丰富情感体验；实现师生互助，活跃课堂气氛。