2.2.1 函数的单调性优秀公开课教案

函数的单调性

一、教学目标

（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。

（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新

二、教学重点

函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法

三、教学难点

函数单调性的判断与证明。

四、教学策略

在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

五、教学准备

利用多媒体教学

【教学过程】

一、知识导向或者情景引入

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

-1

y 1 -1 1 x -1 y 1 -1 1 x -1 y 1 -1 1 x

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

（3）函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x

○1

从左至右图象上升还是下降 ______?

○2

在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -2x+1

○1

从左至右图象上升还是下降 ______?

○2

在区间 ____________ 上，随着x的增[来源:Z#xx#k.Com]大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x2

○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而

________ ．

○2

在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

y 1 -1 -1 1 x y 1 -1 -1 1 x

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”○紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

2

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

[来源:Z&xx&k.Com]利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1

任取x1，x2∈D，且x1

○2

作差f(x1)－f(x2)；

○3

变形（通常是因式分解和配方）；

○4

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

○ 4、判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法

（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论

提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

（二）典型例题

例1．（教材P38例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：见教材

例2．（教材P38例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：见教材

[来源:学*科*网][来源:Zxxk.Com]巩固练习：

证明函数yx1在（1，+∞）上为增函数。

x归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取

值

→

作

差

→

变

形

→

定

号

→

下结论