探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学设计实例

课题：互为反函数的函数图像间的关系

教材：人教版教材第一册上2.4反函数（第二课时）

学校

巍山一中

教师：杨国芬

依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下：

1、知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

教

学

目

标

重

点

难

点

根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的探索认知过程。特确定：

重点：互为反函数的函数图像间的关系。

难点：发现数学规律。

教

学

结

构

创设情景，

引入新课

提出问题，探究问题

习题精炼，

深化概念

总结反思，纳入系统

布置作业，承上启下

教学过程设计

创设情景，引入新课

1、复习提问反函数的概念。

〇学生活动 学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数

我们先来看两个函数：指数函数y2x与对数函数ylog2x.我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。

指数函数y2x，若将之转化为用y来表示x即：xlog2y，将其中y作为自变量，x作为R中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y2x的反函数，习惯上我们把函数xlog2y（y(0,)），记作ylog2x（x(0,)），即底数同为2的指数函数与对数函数互为反函数。

根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)互为反函数。

通常我们将原函数记作yf(x)，反函数记作yf1(x)。

因为原函数与反函数本质是将x与y互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。

现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系

，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！

提出问题，探究问题

1、画出y=3x-2(xR)的图像，并求出反函数。

●引导设问1、原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？

〇学生活动 学生很容易回答

y2原函数y =3x-2中 反函数x3中

y:函数x：自变量 x:函数y：自变量

●引导设问2、在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y与之对应，即0x,y00在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？

〇学因为y=3x0-2成立，所以x00y023成立即(y,x0)在反函数图像上。 0

●

引导设问3、若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B再换一个位置行吗？

〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。

▲教师引导教师用几何画板，就上面的问题追随学生的思路演示当像变化时(y,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。

0x,y在y =3 x-2图00●引导设问4、若不求反函数，你能画出y=3x-2(xR)的反函数的图像吗？怎么画？

〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。

●引导设问5、上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？

〇学生活动由前面容易得出（关于y=x对称）

●引导设问6、若把l当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？

〇学生活动由图中可以看出l,l关于y=x相互对称所以他的反函数图像应是l，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。

●引导设问7、以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是y//x3的图像，请你猜想出它的反函数图像。

〇学生活动由上题学生不难得出做y=x的对称图像（教师配合动画演示）

2、再探究

问题1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y2x及其反函数ylog2x的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？

1问题2 取y2x图象上的几个点，如P(1,),P2(0,1),P3.(1,2).P11,P2,P3关于直线yx的对称点的坐2标是什么？它们在的图象上吗？为什么？

（（问题3 如果点P在函数y2x的图象上，那么P关于直线yx的对称点在函数0x0,y0）0x0,y0）ylog2x的图象上吗？为什么？

问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5上述结论对于指数函数yax(a0,a1)及其反函数ylogax(a0,a1)也成立吗？为什么？

通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数yf(x)图象上的点关于yx的对称点一定是在yf1(x)有图象上，并且函数yf(x)图象与反函数yf1(x)的图象关于yx对称. ●引导设问8、根据图像判断函数y才能有反函数？

x2有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件

〇学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量x,x与同一个y12相对应，当我们用y表示x后，对一个y会有两个x与之对应，所以应加上自变量的范围，使得原函数是从定义域到值域的一一映射。如：加上x>0;x<0;x2,0(2,)等等

101088664422-5-10-5C5B-2-4105151020-2-4

108642-10-551015-2-4-6

●引导设问9、什么样的函数具有反函数？

▲教师引导学生总结 如果一个函数图像关于y=x对称后还能成为一个函数的图像，那么这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到值域的一一映射，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定有反函数。

●引导设问10、通过上图我们发现保留yx2图像的单调增(减)的部分，那么它的反函数也为单调增（减）的。在看一下前面的几个例子你能得到什么样的结论？

〇学生活动通过观察学生容易得到“单调函数的反函数与原函数的单调性一致”然后教师进一步追问为什么？（由前面我们知道若一个函数存在反函数则x与y之间是一个对一个的关系，而原函数是增函数即x越大y也越大，当然y越大x也越大。）

●引导设问11、由图中原函数的图像作出反函数的图像，并回答原函数的定义域值域与反函数的定义域值域有什么关系？

〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。

总结反思，纳入系统：

内容总结：

x,y在原函数图像上，那么(y,x)在反函数图像上。

2、x,y与(y,x)关于y=x对称。

1、000000003、原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。

思想总结：

由特殊到一般的思想，数形结合的思想

例1 求下列函数的反函数

（1）yx1(x1)

（2）y2x1

x3解：（1）由yx1解出x(y1)2又写成：y(x1)2



函数yx1(x1)的值域为[0,)

所求的反函数为y(x1)2(x[0,)). 

注意：如果不注明反函数定义域，得出y(x1)2是错误的. （2）由y求. 说明：一般地，求分式函数y2x13y13x1（x3）y2x1x(y2)3y1x，改写成y即为所x3y2x2axb(c0,adbc)的反函数时，直接解出xf1(y)，再改写cxd成yf1(x)即可.因为使所求出的解析式有意义的x的范围，已知函数的值域. b例2 已知函数yaxb(x)的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函数f(x)的解a析式. y2b解法一：由yaxb得x

a∴当xb时，y0

ax2bb1(x0)

∴函数yaxb(x)的反函数是f(x)aa又∵点(1，2)既在函数f(x)上，也在函数f1(x)上

2ab∴有1b

解得：a3,b7

2a7∴函数f(x)＝3x7(x)

3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线yx的对点为(2，1)，可以得到函数f(x)的图象还过点(2，1)

2ab∴得到

12ab解得：a3,b7

7∴函数f(x)＝3x7(x)

3课堂习题

1.点(3,5)在函数y=ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a、b的值分别为( ) A.a=-1,b=7 B.a=-1,b=-8 C.a=-1,b=8 D.以上都不对

答案：C

2.若点P（1，2）在函数



b

的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值

y

ax解：由题意知，P（1，2）在函数

y

ax

的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于

b直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数



b

的图象上。因此，得

2aby

ax

12ab解得，a=－3，b=7

3.点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的坐标为（b, a）.（即横坐标与纵坐标对换位置）

4. 如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于直线y=x对称，求a,b的值

xb解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数，y=3x-b的反函数为：

ax2,比较系数得：

13a,b6

35.练习4：已知函数 ，且它的反函数f-1(x)的图像过点（2，f(x)axb的图像经过点（1，3）0），求f(x).

x

f(x)21课堂小结

1、求反函数的基本步骤：

⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y); ⑵.将x，y互换得到y = f1(x); ⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域). （总结：反解

→互换→写出定义域）

2、互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系? 互为反函数的两个函数，函数yf(x)图象上的点关于yx的对称点一定是在yf1(x)有图象上，并且函数yf(x)图象与反函数yf1(x)的图象关于yx对称.

课后作业：

1．函数yx22x(x0)的反函数的定义域是（

）

A、,0

B、0,1

C、,1

D、[0,)

2．设f(x)A、2x13(xR,x),则f1(2)的值等于（

）

4x345252

B、

C、

D、

56511a3．设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于

（

）[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

(A)x轴对称

(B)y轴对称

(C)yx轴对称

(D)原点对称

4．点(a,b)在yf(x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是

（

）

A.P(a,f1(a))

B.P(f1(b),b)

C.P(f1(a),a)

D.P(b,f1(b))

15．已知函数f(x)()x1，则f1(x)的图象只可能是（

）

2y

y

y

y

1

x

2

O

x

2

1

O

O

1

x

1

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

x21(0x1)56．设f(x)x，则f1()

．

42(1x0)17．若yax6与yxb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数f(x)的图象上，则3f(x)

．

●

说明：教材中对反函数（第二课时：互为反函数的函数图像间的关系）的处理是通过画几个特殊的函数图像得出一般结论的。我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。而我x,y在原函数图像上，那么(y,x)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究x,y与(y,x)的关对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用00000000

系。经讨论研究可得出结论“x,y与(y,x)关于y=x对称”。进而通过任意点的对称0000得出原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2(xR)的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2y2中 y:函数x：自变量，反函数x3中x:函数y：自变量。问题2：在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y0与之对应，即x0,y在原函数图像上，那么哪一点0在反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(上。问题3：若连结B0y,x)在反函数图像00x,y，G(y,x)，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？000为什么？点B再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解0x,y与00(y,x0)为什么关于y=x对称，突出本课重点和难点。其它环节具体见教案。